2011级高等数学 二 期中解答与评分标准

2011级高等数学 二 期中解答与评分标准

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1、2011级高等数学(二)期中试题解答及评分标准(本科、多学时)一、选择题(本大题5个小题,每小题3分,共15分)1.曲面在点处的切平面方程为(B)A.;B.;C.;D..2.设,,若,则(B)A.;B.;C.;D.不确定.3.设函数的全微分为则点(D)A.不是的连续点;B.不是的极值点;C.是的极大值点;D.是的极小值点.4.微分方程的特解可令为(C)A.;B.;C.;D..5.已知的一个特解为,又对应的齐次方程有一个特解,则原方程的通解(A)A.;B.;C.;D..二、填空题(本大题5个小题,每小题3分

2、,共15分)6.函数的连续域为.7.极限.8.已知,且,则.9.交换积分次序=.10.已知平面,曲面上点处的法线与平面垂直,则点的坐标为.三、试解下列各题(本大题6个小题,每小题7分,共42分)411.设,求.解:,(5分).(7分)12.设由方程所确定,求.解:利用微分形式不变性,在所给方程两端取微分,则有(4分)即当时,有.(7分)13.设,其中二阶可导,有连续的二阶偏导数,求.解:(3分).(7分)(或写为)14.求微分方程的通解.解:特征方程为,(2分)特征根为(4分)则方程的通解为.(7分)15

3、.计算,其中由、、所围成.解:(4分).(7分)416.计算,其中由、所成区域.解:,其中(2分)(5分).(7分)四、试解下列各题(本大题2个小题,每小题8分,共16分)17.设是微分方程的一个解,求此方程满足条件的特解.解:将代入微分方程得(2分)微分方程成为再求相应齐次方程的通解为(4分)故原方程通解(6分)将代入得所以为所求.(8分)18.在平面上求一点,使它与两个定点的距离平方和最小,并求出最小值.解:设所求点为,则距离的平方和为.(2分)令.(4分)解得驻点(6分)4由问题的实际意义,且驻点唯

4、一,则最小值一定存在故所求的点为,且最小值为.(8分)五、证明题(本大题2个小题,每小题6分,共12分)19.试证:曲面上任一点处的切平面都平行于一条直线,式中连续可导.证明:曲面在任一点处的切平面的法向量为(3分)定直线的方向向量若为,则,即则曲面上任一点的切平面平行于以为方向的定直线.(6分)20.试证:在点(0,0)处连续,偏导数存在,但是不可微分.证明:因为,故而,因此函数连续性得证.(2分)类似地,有,可见两偏导数在(0,0)处都存在.(4分)若在(0,0)处可微,则而当时,有由此可见函数在(0

5、,0)处不可微分.(6分)4

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