模考1评分标准与解答

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1、www.speiyou.com第三十一届全国中学生物理竞赛模考训练（一）评分标准与解答命题人：学而思蔡子星朱斌整理人：@sSs1897第一题（25分）（1）（8分）令虫子半径为r。222由勾股定理，可得虫子长hL4r。（1分）2222由柱体体积公式，可得虫子体积VhsrL4r（2分）21222222平方后得V(2r)(L4r)2433由三项均值不等式得VL（2分）m18222226此时有L4r2r（1分），解得arccos（2分）3（2）（8分）设虫子长为h。

2、由基本几何定理，我们知道当柱体底面周长一定，高度一定时有圆柱体的体积最大。（1分）2222Lhh(Lh)因此可得不等式Vhsh()（2分）0244由计算器（table功能）解出h1=0.15L，h2=0.92L（各2分）由于当h取极大或极小值时，一定有不等式等号成立。因此此时虫子为圆柱体。（1分）（3）（7分）虫子在一次移动中经历了最短-原长-最长-原长-最短共五个阶段四次过程。显然，由伸长或缩短回复原长的过程虫子是无须做功的（但很显然肌肉中储存的能量也无法被利用）。因此我们只需要计算

3、虫子由原长伸长和由原长缩短两部分做功W1、W2。（2分）63设虫子底面周长为x。由（1）得：xL;hL（各1分）003322由（2）得：xLh0.39L;hh0.15L（各1分）min2min1由题意知，只需通过计算收缩肌肉的弹性势能便可计算最小做功。2014全国中学生数理化竞赛夏令营及自主招生夏令营联系电话010-52926976www.speiyou.com122WNk(xx)0.090NkL11min012得：（各2分）122WNk(hh)0.091NkL22min0222由

4、此得到WWW(0.090N0.091N)kL（1分）1212第二题（25分）（1）（9分）由于圆锥所有母线与x-y平面夹角一定，飞蛾速度方向所在平面（圆锥锥面切面）与x-y平面夹角一定，速度方向与圆锥母线夹角一定，且圆锥母线总垂直于切于该母线的切面与x-y平面交线。因此飞蛾速度方向与x-y平面夹角一定。（2分）如图，建立以圆锥母线，母线与z=z蛾子平面交线为坐标轴的坐标系。得vvcosmˆvsinnˆ，由于在初态有mˆxˆcoszˆsin;nˆyˆ，得到飞蛾在00原坐标系中速

5、度v(vcoscos,vsin,vcossin)。（2分）000设飞蛾位矢在x-y平面投影转过角度为，角速度为。易知，飞蛾速度在x-y平面投影转动角速度也为。vyv0cos则在初态有。（1分）0LsinLsin这样可以知道，速度矢量以角速度绕着z轴旋转。222vsincosvcoscosˆˆ，解得00,0)得avvyvxa(,（4分；xyLsinLsinxy分量2分/大小2分方向2分）（2）（9分）设飞蛾位矢在x-y平面投影为r，令

6、参数为时间t。易得zvtvtcossin。（1分）z0drvn在m-n坐标系中观察，易得vcos;。（2分）mdtr由此得到rLsinvtcoscos（3分）0dvsin0因此有，（1分）dtLsinvtcoscos0Lsinvtcoscos0解得tancosln()（1分）Lsin2014全国中学生数理化竞赛夏令营及自主招生夏令营联系电话010-52926976www.speiyou.comx(Lsinv0tcoscos)cosy

7、(Lsinvtcoscos)sin0因此得到zvtcossin（1分）0Lsinvtcoscostancosln(0)Lsin（3）（7分）由于速度大小不变，所以有ava(vcosv)mnvsin0(vcoscosvsin)00r由（1），（2）得，（4分）2vsin(coscossin)0ra0由于存在最小逃逸距离，因此rLcos（1分）0aLcos00因此应满足sin(coscossin)

8、（2分）2v0（吐槽：很明显这并不能改变这对蛾子的命运...不过只要不在圆锥上烧死就不是我们部门职责范围内的事情咯~）第三题（17分）（1）（8分）设水-水蒸气混合体系摩尔数为易得，在一个热机循环中吸热Q，做功Wdp(vv)（各1分）molgldTWdp(vgvl)由于此热机为理想热机，由卡诺定理得（2分）TQmoldpmol推出（2分）dTT(vv)gl当Vl<