第5章 线性定常系统综合

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1、第五章线性定常系统的综合§5－1引言§5－1引言§5－1引言1.系统的综合●状态反馈系统的结构为：●状态反馈系统状态空间表达式给定系统的状态空间表达式:原系统的状态空间表达式为：x"=Ax+Bux(0)=x0t≥t0v+u+x"xyx"=Ax+BuB∫Cy=Cx-+y=Cx寻找一个控制，使得在其作用下系统的性能指标满足所期望u的要求。引入状态反馈u=−Kx+v后，系统的状态空间表达式为：A2.状态反馈控制和输出反馈控制x"=(A−BK)x+Bv(1).状态反馈Ky=Cx若系统的控制可表示为系统状态的一个线性向量函数,即●系统的性能主要由系统矩阵决定的，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变

2、系统矩阵以使系统的性能满足期望的u=−Kx+v则称为状态反馈控制。其中为参考输入。v12要求。3§5－1引言§5－1引言§5－1引言●状态反馈系统的传递函数(2).输出反馈●输出反馈系统状态空间表达式原开环系统的传递函数为：若系统的控制可表示为系统输出的一个线性向量函数,即原系统的状态空间表达式为：u=−Hy+v则称为输出反馈控制。其中为参考输入。vW(s)=C(sI−A)−1Bx"=Ax+Bu0●输出反馈系统的结构为：y=Cx引入状态反馈u=−Kx+v后，系统的闭环传递函数为：v+u+x"xyB∫CW(s)=C(sI−A+BK)−1B-引入输出反馈uH=−yv+后，系统的状态空间表达式

3、为：K+x"=(A−BHC)x+Bv系统的性能主要由系统闭环传递函数的极点确定，通过合Ay=Cx理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统传递函数的极点以使通过合理的选择输出反馈矩阵，就可改变系统矩阵以使系系统的性能满足期望的要求。4H5统的性能满足期望的要求。6§5－1引言§5－1引言§5－1引言●输出反馈系统的传递函数（3）状态反馈与输出反馈的比较3.闭环系统的能控性与能观性定理:状态反馈不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观性●系统的输出通常只是系统状态的部分信息，所以输出反馈原开环系统的传递函数为：仅相当于部分状态反馈。证明：受控系统Σ0和状态反馈系统ΣK的能控性判别阵分别为：W(s)

4、=C(sI−A)−1B0M=[BABA2B?An−1B]●如果输出反馈阵H存在，则满足同样要求的状态反馈矩阵K0引入输出反馈u=−Hy+v后，系统的闭环传递函数为：一定存在，只需取K=HC即可。M=[B(A−BK)B(A−BK)2B?(A−BK)n−1B]c−1则容易证明WH(s)=C(sI−A+BHC)B●如果状态反馈阵K存在，则满足同样要求的输出反馈矩阵HM=[B(A−BK)B(A−BK)2B?(A−BK)n−1B]不一定存在，因为由HC＝K，通常解不出H。c=[BABA2B?An−1B]F78=MF90§5－1引言§5－1引言§5－1引言其中，F为如下形式的非奇异变换矩阵：第三项：

5、A2BI+AB(−KB)+B[−K(A−KB)B]故Mc=M0F得证。⎡I−BK−K(A−BK)B?−K(A−BK)n−2B⎤=[A2−ABK−BK(A−BK)]B由于F为非奇异矩阵，而非奇异矩阵线性变换不改变矩阵的秩，⎢⎥故⎢−K(A−BK)n−3B⎥=[A(A−BK)−BK(A−BK)]BrankMc=rankM0=(A−BK)2B⎢⎥即引入状态反馈不改变系统的能控性。@F=⎢⎥现以下例说明，状态反馈将改变系统的可观性：⎢−K(A−BK)B⎥假定第i项成立：⎢⎥i−1i−2i−3i−2⎡01⎤⎡0⎤⎢−BK⎥ABI+AB(−KB)+AB[−K(A−KB)B]+?+B[−K(A−KB)

6、B]受控系统Σ的状态方程为：x"=⎢⎥x+⎢⎥u⎢⎥i−10⎣−2−3⎦⎣1⎦⎣I⎦=(A−BK)B则i+1项为：AiBI+Ai−1B(−KB)+Ai−2B[−K(A−KB)B]+?y=[]31x现用数学归纳法证明Mc=M0F显然M0F的+AB[−K(A−KB)i−2B]+B[−K(A−KB)i−1B]第一项：B⎡C⎤⎡31⎤i−1i−1i其能观性判别矩阵为：rankN0=rank⎢⎥=rank⎢⎥=2第二项：B(−KB)+ABI=(A−BK)B10=A(A−BK)B+B[−K(A−KB)B]=(A−KB)B11⎣CA⎦⎣−20⎦12§5－1引言§5－1引言§5－1引言定理2：输出反馈不

7、改变系统的能控性和能观性。用数学归纳法容易证明由于rankN0=2故系统Σ0是完全能观的。证明：由于对任一输出反馈总存在等效的状态反馈，而状态反⎡C⎤⎡C⎤令状态反馈矩阵为K=[]kk馈不改变系统的能控性，故输出反馈也不改变系统的能控性。⎢C(A−BHC)⎥⎢CA⎥12N=⎢⎥=F⎢⎥=FNH0受控系统Σ0和输出反馈系统Σ的能观性判别证分别为：⎢@⎥⎢@⎥闭环系统ΣK=(A−BK,B,C)的能观性判别矩阵为：H⎢n−1⎥⎢n−1⎥⎢