线性定常系统的综合

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1、第5章线性定常系统的综合5.3基于状态比例反馈的极点配置1、直接求解法基于下式直接计算K阵的各元对于单输入系统，K阵具有唯一解；对多输入系统，K阵具有多解。2、基于能控规范型的配置算法▼单输入系统。单输入能控系统可变换为能控规范型：22/31，其中，阵末行的各元等于的系数的反号数。即对应于任意给定的期望闭环极点，期望特征多项式为22/31的末行的各元等于的各系数之负。即对能控规范型，设状态反馈矩阵为由于阵除末行外其余元为0，故闭环系统系统矩阵与阵仅末行、不同，即有注意到，则故取22/31即可实现系统极点的期望配

2、置。原系统的状态反馈矩阵代入和能控规范型变换矩阵的表达式，有22/31其中，▼多输入能控系统。将多输入能控系统变换为龙伯格能控规范型。龙伯格能控规范型的和阵分为r（输入变量维数）个子阵，即，式中，、分别为阶和阶子阵，为能控性指数。设状态反馈矩阵为，则闭环系统系统矩阵为22/31。将给定的期望闭环极点分成r个组（注意共轭极点须成对儿分在同一组），各组极点的个数与的行数即相等。闭环系统期望特征多项式为其中令其中22/31由于阵仅末行为不等于0的行向量，则闭环系统系统矩阵的各子阵与阵的各子阵仅末行不同。记由、和阵的各

3、子阵的末行构成的矩阵分别为、和。由于阵的各子阵的末行线性无关，可逆。故有从而状态反馈矩阵为对于原系统，则22/31由上可知，对能控系统，对任意给定的闭环极点，总能求出对应的状态反馈矩阵，实现期望极点配置。说明：1）状态反馈不一定是负反馈，即对满足极点配置要求的状态反馈控制，K阵的元可正可负。2）对单输入系统，对给定的期望极点，状态反馈矩阵是唯一的。对多输入系统，基于龙伯格能控规范型将给定的期望闭环极点分成r个组的方案不唯一，因此所得状态反馈矩阵也不唯一。对不同的状态反馈方案，系统的动态性能有所不同。基于龙伯格能

4、控规范型所得阵的元素数值一般22/31较其它方法的为小，系统响应波动性小，内部单元也不易饱和。多输入系统阵的不唯一性，为进一步改进系统设计留下了空间。综合进行特征值和特征向量配置，即所谓特征结构配置便是这样的一种方法。算例例1：受控系统为试求状态反馈矩阵，使系统闭环极点为。解：系统能控性矩阵22/31，系统能控，可由状态反馈任意配置极点。解法1：可见，则能控规范型变换矩阵为原系统特征多项式为期望特征多项式22/31基于能控规范型的状态反馈矩阵基于原系统的状态反馈矩阵解法2：由期望特征多项式可有则22/31解法3

5、（直接计算法）：设，则闭环系统特征多项式令得解得，，故状态反馈矩阵为例2：系统A阵和B阵为22/31，试确定状态反馈矩阵，使系统极点配置到，，。解：系统能控性矩阵阵的前三列、及线性无关，系统能控性指数，。22/31令，则能控规范型变换矩阵，龙伯格能控规范型：，期望特征多项式22/31若取，则期望闭环系统矩阵为基于龙伯格规范型的状态反馈矩阵对于原系统，则22/31闭环系统矩阵特征值，，。若取，则期望闭环系统矩阵为22/31基于龙伯格规范型的状态反馈矩阵对于原系统，则闭环系统矩阵22/31特征值，，。3、状态反馈镇

6、定算法对不能控系统，实现镇定的状态反馈矩阵的一种算法为：1）用将系统进行能控性结构分解【见讲义4.5】；2）若不能控子系统渐近稳定，对能控子系统进行期望极点配置，求出其状态反馈矩阵；3）全维系统状态反馈矩阵。算例：例3：已知系统22/31试设计状态反馈矩阵，使系统镇定。解：系统不完全能控。因、线性无关，系统能控性指数，。追加列向量，构造可逆矩阵，则龙伯格能控规范型变换矩阵22/31龙伯格能控规范型：，原系统的能控性分解为其不能控子系统的极点等于22/31，是渐近稳定的，系统可状态反馈镇定。原系统的能控子系统为设

7、期望极点为，期望特征多项式为期望的系统矩阵基于龙伯格规范型的状态反馈矩阵22/31原系统的状态反馈矩阵闭环系统的系统矩阵为特征值（期望极点），（不变）。22/31