2006考研数学二试题及解析

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1、2006年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线的水平渐近线方程为【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】.故曲线的水平渐近线方程为.（2）设函数在处连续，则.【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】由题设知，函数在处连续，则，又因为.所以.（3）广义积分.【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.　　　　　【详解】.（4）微分方程的通解是【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为，两边积分

2、得　，整理得　　　　　　　.（）（5）设函数由方程确定，则【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对求导（注意是的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对求导，得.　　　又由原方程知，.代入上式得　.方法二：方程两边微分，得　　　　　　，代入，得.方法三：令，则　　　　　　，故　.（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2.【分析】将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有，而，所以.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字

3、母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).　　　　　(D)　.　　[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数.[B]【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数去计算，然后选择正确选项.【详解】取　.则当时

4、，，而，所以为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.（9）设函数可微，，则等于（A）.（B）（C）（D）[C]【分析】题设条件两边对求导,再令即可.【详解】两边对求导,得　.上式中令，又，可得，故选（C）.（10）函数满足的一个微分方程是（A）（B）（C）（D）[D]【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为.则对应的齐次微分方程的特征方程为.故对应的齐次微分

5、方程为.又为原微分方程的一个特解，而为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式（为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）（11）设为连续函数，则等于（Ａ）.（B）.(C)　.　　(D).[Ｃ]【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域如右图所示，显然是型域，则　　　　　　原式.故选（Ｃ）.（12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C)　若，则.(D)　若，则.　　　　　　　　　

6、[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得　　　　　　　,整理得　.（因为），若，则.故选（Ｄ）.（13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.[A]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍

7、加到第2列得，记，则（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　Ｂ　］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得　　　　，而　，则有.故应选（Ｂ）.三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.【分析】题设方程右边为关于的多项式，要联想到的泰勒级数展开式，比较的同次项系数，可得的值.【详解】将的泰勒级数展开式代入题设等式得整理得比较两边同次幂系数得，解得.