3-3 二阶系统的时域分析

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1、§3-3二阶系统的时域分析研究典型二阶系统具有重要的意义，不仅在工程实践中比较常见，而且许多高阶系统在一定条件下可以近似为二阶系统。3.3.1二阶系统的数学模型典型的二阶系统的结构图如图所示。2wnss(+2)zwn系统的闭环传递函数为：2Cs()wnF()s==22R(s)2ss++zwwnnz——系统阻尼比（阻尼系数）wn——无阻尼自然振荡角频率22闭环系统特征方程为：ss+20zww+=nn闭环系统特征根(闭环极点)为：22sj=-zw±wz-11=-zw±-wz1,2nnnn=-±swjds=

2、zwn——衰减系数2w=-wz1dn——阻尼自然振荡角频率3.3.2二阶系统的单位阶跃响应1对于单位阶跃输入：r(t)==1(t),Rs()s2w1n响应：C(s)=F(s)Rs()=×22s++2zwwssnn1s+2zwn=-22sss++2zwwnn其反变换即为二阶系统的单位阶跃响应。当z不同时，所对应的响应具有不同的形式。1.z=0时（无阻尼）(一对纯虚根)2闭环极点为：s1,20=-zwn±jjwnn1

3、-zwz==±单位阶跃响应：1sC(s)=F(s)Rs()=-22ss+wn-1h(t

4、)=L[C(s)]=1-³coswtt(0)n系统处于无阻尼状态，其响应为恒定振幅的周期函数，频率为ωn2.z>1时（过阻尼）(一对不等2的负实根)闭环极点为：s1,2=-zwnn±-wz1单位阶跃响应：2w1nCs()=×(s--s)()sss12AAA123=++sss+w(z-z22-1)+w(zz+-1)nn-1式中：AA==1,,12222z-1(zz--1)1A=3222z-1(zz+-1)取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为：1-(z--zw21)th(te)1=-n22

5、2z-1(zz--1)1-(z+-zw21)t+³etn(0)222z-1(zz+-1)过阻尼二阶系统的单位阶跃响应包含两个单调衰减的指数项。且响应为非振荡的。3.z=1时（临界阻尼）(一对相等的负实根)2闭环极点为：sj1,21=-zwn±wnn1

6、-zx==-zw单位阶跃响应：1s+2ww11jωnnCs()=-=--222ss+2ws+wsss++ww()nnnn--wwtth(t)=1-enn-³wtet(0)s1=s20σn临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程。4.

7、01<

8、(t)=1-1-+zcoswttzwsin(dd)21-xe-zwnts1jwz1-2=1-sin(wbtt+³)(0)nd21-z21-z式中：b=arctan()-zwnz2或：bz=arccoss--jwzn12在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值的大小,振荡角频率是特征根虚部的绝对值，振荡周期为22ppT==dwwz1-2dn二阶系统的单位阶跃响应曲线C(t)2z=01.8z=0无阻尼0.40.11.60.50.21.401<

9、1.20.71z=1临界阻尼0.80.8z=2z>1过阻尼0.60.90.41.00.21.5wnt0024681012(1)临界阻尼二阶系统较过阻尼二阶系统有较快的响应速度。(较短的上升时间)(2)对欠阻尼二阶系统，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。通常取＝z0.4～0.8，最佳阻尼比z≈0.7(3)若z相同，不wn同，则C(t)2z=0他们具有相同的振荡特1.80.40.11.60.50.2性，但速度不同，w越1.40.60.3n1.20.71大，响应速度越快。0.80.8z=20.6(4)零

10、阻尼二阶系统为等0.90.41.00.21.5wnt幅振荡。00246810123.3.3欠阻尼二阶系统动态性能分析在实际情况中,评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃信号的过渡过程的特征来表示的。通常，希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态下。因此,下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。另外,系统在单位阶跃信号作用下的过渡过程与初始条件有关,为了便于比较各种系统的动态性能,通常假设系统的初始