3.3 二阶系统的时域分析

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1、3-3二阶系统的时域分析二、二阶系统的数学模型四、欠阻尼二阶系统的动态性能分析三、二阶系统的阶跃响应五、过阻尼二阶系统的动态性能分析六、二阶系统的单位斜坡响应一、常见的二阶物理对象七、二阶系统性能的改善八、非零初始条件下二阶系统的响应过程一、常见的二阶物理对象ARLC网络二阶系统：凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统数学模型的标准形式，相应的方块图如图3-8所示－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）3.二阶系统的动态特性，可以用和加以描述,特征方程：两个根(闭环极点):二、二阶系统的数学模

2、型（图3-9二阶系统的闭环极点分布）不同实根，阶跃响应为单调衰减型实重根，阶跃响应为单调衰减型共扼复根，阶跃响应为振荡型瞬态响应为无阻尼振荡（等幅振荡）阶跃响应发散1.无阻尼(ζ=0)的单位阶跃响应2.欠阻尼(0<ζ<1)的单位阶跃响应3.临界阻尼（ζ=1）的单位阶跃响应4.过阻尼（ζ>1）的单位阶跃响应三、二阶系统的单位阶跃响应1、无阻尼(ζ=0)的单位阶跃响应输出的拉氏变换为：拉氏反变换为：结论：无阻尼时二阶系统的单位阶跃响应为等幅正弦振荡曲线。（平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为）系统的特征根

3、为：＊＊2、欠阻尼（0＜ζ＜1)二阶系统的单位阶跃响应其中，衰减系数阻尼振荡频率单位阶跃响应为稳态分量瞬态分量＊＊欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：•稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；•瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n(即σ，特征根实部）决定；阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜。•振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。包络线为：3、临界阻尼（ζ=1）二阶系统的单位阶跃响应表明：响应是稳态值为1的无超调

4、单调上升过程。在相同的自然频率下，比过阻尼快。4、过阻尼（ζ＞1）二阶系统的单位阶跃响应则表明：响应包含两个单调衰减的指数项，稳态值（最大值）为1，非振荡的。在讨论过阻尼系统时，阻尼比没有实际的物理意义在工程上，一般不希望出现过阻尼。但对于大惯性、机械加工等不允许出现超调现象的场合，只能采用过阻尼或临界阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线(ζ>0)0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0说

5、明：过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快。在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的特征参量之间的关系:衰减系数σ:闭环极点到虚轴之间的距离；阻尼振荡频率ωd:闭环极点到实轴之间的距离；自然频率ωn:闭环极点到坐标原点之间的距离；阻尼角β:ωn与负实轴的夹角,ζ=cosβ。在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。二阶系统一般取其它的动态性

6、能指标，有的可用精确表示，如有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。1、延迟时间td的计算二阶系统ωntd与ζ的关系曲线令h(td)=0.5，得利用曲线拟合法，近似有当0＜ζ＜1时，还可近似为表明增大自然频率ωn或减小阻尼比ζ，都可以减小延迟时间td。2、上升时间tr的计算(第二种定义)(2）当阻尼振荡频率ωd一定时，阻尼比ζ越小，上升时间tr越短。所以所以有（1）当阻尼比ζ一定时，阻尼角β不变，上升时间tr与阻尼振荡频率ωd成反比；表明3、峰值时间tp的计算表明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。或者峰值时间与闭

7、环极点的虚部数值成反比。整理得4、超调量σ%的计算表明超调量σ%仅是阻尼比ζ的函数。阻尼比越大，超调量越小。欠阻尼二阶系统ζ与σ%的关系曲线得由于h(∞)=1,故一般取ζ=0.4～0.8时，σ%=1.5%～25.4%输出量的最大值为5、调节时间ts的计算假定ζ≤0.8,并以ζ=0.8，Δ=0.05代入，可以解得ts≤3.5/ζωn在分析问题时，常取ts=3.5/ζωn=3.5/σ表明调节时间ts与闭环极点的实部数值σ成反比。由于阻尼比ζ的值已经由系统的超调量σ%要求确定下来，所以调节时间主要由自然频率决定。各项

8、指标之间是有矛盾的。如上升时间和超调量，因为增大开环增益K时，可以加大自然频率，提高了系统的响应速度，但同时减小了阻尼比ζ，使得系统的阻尼程度减小。应采取合理的折衷方案或补偿方案。例3-1：控制系统如图3-15，若要求系统具有性能指标试确定系统参数K和T,并计算单位阶跃响应的特征量td,tr和ts。得R(s)(-)C(s)•化为标准形式•即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=2