2012高考数学解题技巧【专题3】转化与化归思想

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1、【专题三】转化与化归思想【考情分析】数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。预测2011年高考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。【知识交汇】所谓转化与化归思想就是把待解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法将实际问题数学化、陌生问题熟

2、悉化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，最后归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上来解决原问题的数学思想。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题

3、；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转

4、化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部

5、所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。【思想方法】题型1：集合问题例1．（2007年湖南文14）设集合22b，①的取值范围是　；②若且的最大值为9，则的值是。（2）已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.解析：（1）①②；①由图象可知的取值范围是；②若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，

6、所0+2b=9，所以b=（2）分析:运用补集概念求解解答：设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。题型2：函数问题例2．（1）已知函数α,β满足，求的值；（2）（2010年高考山东卷理科，22题）已知函数.（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.解析：（1）构造函数则有又在R上是单调递增的奇函数，且故。（2）解：（Ⅰ）因为所以令（1）当所以，当，函数单调递减；当时，，

7、此时单调递（2）当即，解得①当时，恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减；②当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；③当时，由于时，，此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（０，１）上单调递减；函数在（１，＋∞）上单调递增；当时，函数在（0，+∞）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减，（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，，当，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为由于“对任意，存在，使”等价于“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最

8、小值”（*）又，所以①当时，因为，此时与（*）矛盾；②当时，因为，同样与（*）矛盾；③当时，因为解不等式，可得综上，的取值范围是点评：通常函数的最值要转化为导数处理，要理解不等式恒成立与函数的