高等数学 基础班(第14-18课)

《高等数学 基础班(第14-18课)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五章定积分第五章第五章第五章第五章定定定定积积积积分分分分第五章定积分nb定积分概念、公式及要点1.定义：∫∫af(x)dx∆lim∑∑f(ξk)∆xkλ→0k=12.几何意义：3.可积性：（1）必要条件：f(x)有界；（2）充分条件：f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；第五章定积分4.计算：定积分的5种计算方法b（1）∫∫af(x)dx=F(b)−F(a)（2）换元法（3）分部积分法（4）利用奇偶性，周期性（5）利用公式⎧n−1n−31πππ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅,n偶①2sinnxxd=2cosn

2、xxd=⎨nn−222∫0∫0⎪n−1n−3⋅⋅⋅2,n奇⎪⎩⎪⎩⎪⎩nn−23πππ②∫0xf(sin)dxx=∫0f(sin)dxx2第五章定积分x变上限积分和变上限求导5.变上限积分：∫∫f(t)dtax（1）定理：设f(x)在[a,b]上连续，则∫∫f(t)dt在[a,b]ax上可导且(∫∫f(t)dt)′=f(x).a（2）变上限求导的三个类型：ψ()x①(∫∫ϕ()xftdt())′=f(())ψxψ′()x−f(())()ϕxϕ′xψ()x②(∫∫ϕ()xfxtdt(,))′b③(∫∫a

3、fxtdt(,))′第五章定积分变上限积分和变上限求导【例】求下列变上限积分函数的导数（）sinxt2（1）F(x)=edt;∫x2x（2）F(x)=∫0(x−t)f(t)dt,x2（3）F(x)=∫0sin(x−t)dt;其中f(x)是连续函数；1（4）F(x)=∫0f(t+x)dt,其中f(x)是连续函数；22sinxx【解】Fx′()=ecosxe−⋅2xxxFx()=x∫∫0ftdt()−∫∫0tftdt()第四章不定积分变上限积分和变上限求导xxFx′()=∫∫0ftdt()+xfx()−x

4、fx()=∫∫0ftdt()令x−=tu，则dt=−dux2Fx()=∫∫sinudu02Fx′()=sinx令t+x=u，则dt=du1+xFx()=∫∫fudu()xFx′()=f(1+x)−fx()第五章定积分6.性质：变上限积分和变上限求导(1)不等式：bb①若f(x)≤g(x),则∫∫f(x)dx≤∫∫g(x)dx.aa②若f(x)在[a,b]上连续，则bm(b−a)≤∫∫f(x)dx≤M(b−a).abb③∫∫af(x)dx≤∫∫a

5、f(x)

6、dx.第五章定积分（2）中值定理：变上限积分和

7、变上限求导①若f(x)在[a,b]上连续，则b∫af(x)dx=f(ξ)(b−a)a<ξ

8、∫0costdt==224212π解法2∫∫02x−xdx=（几何意义）4第五章定积分π变上限积分和变上限求导【例2】2(x3+sin2x)cos2xdx=______.∫∫−π2ππ2322222【解】(x+sinx)cosxdx=2sinxcosxdx∫∫π∫∫0−2π224=2∫∫(sinx−sinxdx)01π31ππ=2[⋅−⋅⋅]=224228第五章定积分1变上限积分和变上限求导【例3】计算∫∫xarcsinxdx.0111【解】解法1∫∫xarcsinxdx=arcsinxdx202∫∫

9、0122x11x=arcsinx−∫∫02dx2021−xπ11211dx=+∫∫01−xdx−∫∫024221−xπ=8第五章定积分变上限积分和变上限求导解法2令x=sint，则1∫∫xarcsinxdx0ππ2122=∫∫0tsintdsint=∫∫0tdsint2ππt2122π11ππ=sint2−∫∫sintdt=−⋅⋅=002242228第五章定积分变上限积分和变上限求导dx22【例4】设f(x)连续,则∫∫tf(x−t)dt=（）dx0xf(x2)(2)（A）（B)−xfx（C）2xf(

10、x2)（D）2(2)−xfx22【解】解法一令x−t=u则−2tdt=du2dx221dx∫∫0tfx(−tdt)=∫∫0fudu()dx2dx2=xfx()解法二取fx()≡1则第五章定积分变上限积分和变上限求导⎡111⎤【例5】求极限lim++⋯+n→∞⎢⎣⎢⎣⎢⎣n+1n+22n⎥⎦⎥⎦⎥⎦nb【解】∫fxdx()≜lim∑f()ξi∆xiaλ→0i=1⎡111⎤lim++…+n→∞⎢⎣⎢⎣⎢⎣n+1n+22n⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎡⎤1⎢111⎥=lim⎢