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《高等数学 基础班(第09-10课)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章微分中值定理与导数的应用第三章第三章微分中值定理与微分中值定理与导数的应用导数的应用第三章微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理微分中值定理的概念及公式罗尔定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),那么至少∃ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0.拉格朗日定理设f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,那么至少存f(b)−f(a)在一个ξ∈(a,b),使=f′(ξ).b−a柯西定理设f(x),F(x)在[a,b]连续,在(a,b)内可导，且F′(x)≠0,那么至少存在一个ξ∈(a,b)，使f(b)−f(a)f′(ξ)=F(b)−F(a)F′(ξ)
2、第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理的概念及公式4.泰勒公式定理1（拉格朗日型余项）设f(x)在含x的区间(a,b)内n+1阶可导,那么对0∀x∈(a,b),至少存在一个ξ,使(n)f(x0)nf(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+⋯+(x−x)+R(x)0000nn!(n+1)f(ξ)n+1其中Rn(x)=(x−x0),ξ在x0与x之间.(n+1)!第三章微分中值定理与导数的应用定理2（皮亚诺型余项）微分中值定理的概念及公式设f(x)在x点n阶可导,那么0(n)f(x0)nf(x)=f(x)+f′(x)(x−x)+⋯+(x−x)+R(x)0000nn!nx→x其中Rn(
3、x)=ο(x−x0),(0)第三章微分中值定理与导数的应用二、导数应用微分中值定理的概念及公式1.洛必达法则：若（1）limf(x)=limF(x)=0;(∞)x→x0x→x0（2）f(x),F(x)在x点的某去心邻域内可导，且0F′(x)≠0;f′(x)f(x)f′(x)（3）lim=A(∞);则lim=lim.x→x0F′(x)x→x0F(x)x→x0F′(x)2.单调性设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。（1）若在(a,b)内f′(x)>0,则f(x)在[a,b]上单调增；（2）若在(a,b)内f′(x)<0,则f(x)在[a,b]上单调减；第三章微分中值定理与
4、导数的应用3.函数的极值与最值微分中值定理的概念及公式（1）极值：①极值的必要条件：f′(x0)=0;②极值的充分条件：(a)若f′(x0)=0,f′(x)在x0两侧变号，则f(x)在x0处取得极值；若f′(x0)=0,f′(x)在x0两侧不变号，则f(x)在处无极值；x0(b)若f′(x)=0,f′′(x)≠0,则f(x)在x处取得极值；000（2）最值：①求连续函数f(x)在[a,b]上的最值；②应用题。第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理的概念及公式4.曲线的凹向与拐点（1）凹向：x+xf(x)+f(x)1212①定义：凹f()<22x+xf(x)+f(x)1212凸f
5、()>22②判定：若在区间I上fx()>0(<0)，则曲线y=f(x)在I上是凹（凸）的。（2）拐点：①定义：②判定：第三章微分中值定理与导数的应用5.渐近线(水平,垂直,斜渐近线).微分中值定理的概念及公式(1)若limf(x)=A(limf(x)=A,或limf(x)=A）那么x→∞x→−∞x→+∞y=A是曲线y=f(x)的水平渐近线.(2)若limf(x)=∞,那么x=x0是y=f(x)的垂直渐近线.x→x0f(x)(3)若lim=a,b=lim(f(x)−ax),那么y=ax+b是x→∞xx→∞y=f(x)的斜渐近线.第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理的概念及公式6
6、.曲率与曲率半径:(数三不要求）
7、y′′
8、曲率K=（直角）3(1+y′2)2
9、y′′x′−y′x′′
10、K=（参数）223/2(x′+y′)1曲率半径R=K第三章微分中值定理与导数的应用常考题型与解题技巧常考题型1.洛比达法则求极限；2.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点；3.求渐近线；4.方程的根；5.不等式的证明；6.中值定理证明题第三章微分中值定理与导数的应用2π常考题型与解题技巧【例1】lim(1−x)tanx.x→122π【解】lim(1−x)tanxx→12πsinx2=lim(1+x)(1−x)x→1πcosx1−x2=2limx→1πcosx2−1=2limx→
11、1ππ−sinx422=π第三章微分中值定理与导数的应用1常考题型与解题技巧sinx【例2】lim()1−cosx.x→0x1(sin)x1cos−x【解】解法1limx→0xsinxlnxlimx→01cos−xcosx−1=2lim2x→03x1sinxlim()1cos−x则x→0x第三章微分中值定理与导数的应用1常考题型与解题技巧sinx解法2()1cos−xxsinx−xlimx→0x(1cos)−x12−x2=limx→032x21sinxlim()1co
