论von Karman湍流衰变理论

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1、http://www.paper.edu.cn论vonKarman湍流衰变理论冉政上海大学，上海市应用数学和力学研究所，上海，200072摘要：目前为学术界公认的vonKarman湍流衰变理论（vonKarman,J.Aero.Sci.，Ⅳ,1937,131）在发表时，就受到了一些质疑（Taylor,J.Aero.Sci.，Ⅳ,1937,311-5），后来，有学者（蔡树棠,吴峰，中国科学A，1984，1104-1110）也指出了vonKarman湍流衰变理论与Bennett-Corrsin实验结果在湍流衰变后期的异常偏离，本文利用文献[14,15,16]发展的理论对此做了详尽的研究。

2、这种偏离实际上反映出湍流中的双尺度效应，在经典湍流理论中由于vonKarman没有得到完备的二元关联函数解集，尺度之间的作用没有反映出来，这是他的理论与实验不合的根本原因。同时，如果引入了尺度效应，则实际的湍流关联是非Gauss型的，而非Karman衰变理论的Gauss型分布。关键词：各向同性湍流，KH方程，湍流衰变引言从1895年Reynolds(1895)得到他的著名的方程式开始，在相当长的一段时间内，人们集中力量解决湍流方程的封闭问题，但是收效很小。直到1935年，Taylor才提出了另外的一种研究思路。因此，均匀各向同性湍流的统计理论起源于G.I.Taylor(1935)的工

3、作，他首先引入了均匀各向同性湍流的概念：即湍流场变量的平均值相对于参考坐标系的平移，旋转变换是不变的。随后，他证实了湍流的一些平均量可以精确地从Navier-Stokes方程得到，他得到了湍流衰变的方程。1938年，vonKarman和Howarth(1938)把张量引入了不可压缩湍流的研究中，简化了Taylor的计算，并得到了二元速度关联和三元速度关联的表达式，以及它们之间的关系。vonKarman的湍流理论，长期以来被学术界看成经典，特别是有关湍流衰变的工作得到了一致的认可。包括Batchelor和Towesend（1948）等大家都认为他们的实验验证了vonKarman的理论。

4、目前，就笔者所知的历史，其实并非如此。当vonKarman（1937）发表他的湍流理论文章后，Simmons(1937)即进行了实验验证，他的结果在G.I.Taylor(1937)的一篇文章中有大量的论述。Taylor着重分析了vonKarman理论的假设条件以及与实验不吻合的地方，在他文章的摘要中特别指出了这点。Karman所得到的二元关联函数与实验结果不符合。但这个工作并没有引起以后的研究者注意。无独有偶，在中国也有学者注意到这一事实，他们关注的是在经典湍流的实验中有著名的Bennett-Corrsin实验（Bennett,Corrsin,1952），有一个现象是很令人迷惑不解的

5、，就是越到湍流后期，实验结果和已有的vonKarman理论结果偏离越来越大。（见蔡树棠，刘宇陆，湍流理论，114页）这在一般的各向均匀同性湍流理论中是无法加以解释的。中国学者蔡树棠和吴峰（1984）曾使用成对分布的旋涡结构对此现象进行了阐述。上述的几件事，诱发我们对于vonKarman的理论的理论基础的重新认识。详尽的分析表明：vonKarman所得到的湍流衰变解不完全，并没有反映出湍流尺度的影响，因此对于湍流衰变行为的刻画是不完全的。均匀各向同性湍流理论最为完整的部分，毫无疑问的是湍流衰变后期的理论，这是现代湍流统计理论中最为基础的工作。湍流在这个时期里的Reynolds数已经比较

6、小，所以Karman-Howarth方程中含有三元速度关联的一项可以完全忽略。我们目前所得-1-http://www.paper.edu.cn到的精确解[14,15,16]应该可以适用于这个时期的湍流流动。本文则是使用我们发展的理论，对于此问题提出新的看法。本文的结果表明即便是湍流衰变问题，二元关联也应该是非Gauss的，而不是Karman理论的Gauss型。[1]湍流衰变后期的自保持解由均匀各向同性湍流衰变理论结果可有对应的二元关联系数的方程2df⎛4a1⎞dfa2+⎜+ξ⎟+f=0(2.1)2⎜⎟dξ⎝ξ2⎠dξ2边界条件如下f(0)=1f(∞)=01这一方程的解为：a125−ξ

7、当σ=时，f()ξ=e42a125−4ξ⎛55a12⎞当k=σ−，f()ξ=eF⎜−σ,,ξ⎟4⎝224⎠a125−4ξ⎛5a12⎞当k=−σ，f()ξ=eF⎜σ,,ξ⎟4⎝24⎠a125−4ξ⎛33a12⎞当σ=，f()ξ=eF⎜,,ξ⎟4⎝424⎠这里F(α,γ,z)是合流超几何函数。利用合流超几何函数的渐近展开公式不难得出上述函数收敛的条件是：对于四种解均有：a>0,1第二种解：σ>0；5第三种解：0<σ<；2详细的理论推导见附录1。可见相对于湍流参