湍流模型理论

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1、4.5湍流模型理论由不可压缩流动的Navier-Stokes方程r∂Vrr1r+V⋅∇V=−∇p+νΔV（4.5.1）∂tρ其中ν是流体的运动粘性系数，它等于是流体的分子粘性系数μ除以密度ρ，现将瞬时速r度V分解为平均速度V和脉动速度v′之和rV=V+v′便可得到Reynolds时间平均的Navier-Stokes方程：∂V1+V⋅∇V+v′⋅∇v′=−∇p+νΔV（4.5.2）∂tρ容易证明，使用不可压缩流动的连续方程以后，通过张量运算，上式也可写作∂V11+V⋅∇V=−∇p+νΔV+∇⋅(−ρvv′′)（4.5.3）∂tρρr它的笛卡儿张量分量形式为：(此地按历史惯例，用u来表示矢量V的

2、笛卡儿分量，其它量j也用笛卡儿张量分量，还有以下将平均量上面的一横道省略掉)Duj∂uj∂uj∂p∂⎡∂uj⎤ρ=ρ+ρu=−+μ−ρuu′′⎥+ρF（4.5.4）i⎢ijjDt∂t∂x∂x∂x∂xiji⎣i⎦此处F表示可能有的其它质量力的时均量，u表示时均速度，ρ表示时均密度，p表示jj时∂uu′′∂uu′′ijij=−u−Ckij∂t∂xk∂uj∂ui−(uu′′+u′u′)Pikjkij∂x∂xkk⎡p′∂ui′∂u′j⎤+⎢(+)⎥Φijρ∂x∂x⎢⎣ji⎥⎦（4.5.5）⎡2⎤∂p′∂uiu′′j−⎢uiu′′juk′+(ui′δkj+u′jδki)+ν2⎥Dij∂xk⎢⎣ρ∂xk

3、⎥⎦∂ui′∂u′j−2ν−εij∂x∂xkk+LLLRij均压力，而−ρuu′′或−ρvv′′就是所谓的Reynolds应力张量，它的输运方程4.5.5最先是ij由周培源先生推导得到的（Chou1945）。此处排列次序作了点改动，C,D,P,ε,Φ,Rijijijijijij是为了以下讨论方便新加的代替记号（代替所在行的项），其中R表示由运动方程里可能有ij的惯性力项等在时间平均时引起的其它附加项。由此Reynolds应力输运方程可简单表示成C−D=P−ε+Φ+R（4.5.6）ijijijijijij如果缩并上式并除以2，并注意到Φ缩并以后是零，可得ijC−D=P−ε+R（4.5.7）由于

4、Reynolds应力张量的输运方程中D,ε,Φ这几项不能精确计算，不得已只好用模型ijijij方程来代替它。其中最为有名的是所谓的二阶矩模型（Second-Moment-Closure），它包括微分应力模型DSM，代数应力模型ASM，二方程涡粘性模型k−εEVM。以下便对它们作一个系统介绍（为和文献一致，这里都是笛卡儿张量）。一、微分应力模型DSM(Launder,Reece,Rodi1975)在高Re数假设下，由Reynolds应力张量的输运方程式C−D=P−ε+Φ+R（4.5.8）ijijijijijij引进如下模型关系式后，便可对Reynolds应力张量解析求解了ε22Φ=−C(uu′

5、′−δk)−C(P−δP)C=8.1C=6.0（4.5.9）ij1ijij2ijij12k33∂k∂uiu′′jD=−C(u′u′)C=.022（4.5.10）ijkklk∂xε∂xkl2ε=δε（4.5.11）ijij3∂u′∂u′u′u′iikk其中ε=νk=∂x∂x2jjPkk∂uj∂uiP=P=−(uu′′+u′u′)ijikjk2∂x∂xkk而ε则可由如下的模型输运方程解出：2Dε∂ε∂(uε)∂k∂εεεk′′=u==(Cuu)+CP−C（4.5.12）kεklε1ε2Dt∂x∂x∂xε∂xkkkkkl其中C=.016C=.145C=.192εε1ε2二、代数应力模型ASM（W.

6、Rodi1975）由于数值求解DSM微分方程组的计算量很大，先是Launder提出可设法消去DSM中关于uu′′的导数项，使之成为一个关于uu′′的代数方程，这便是代数应力模型ASM。办法是ijij将4.5.8式中的R暂时先忽略不计，然后缩并一次，可得ijC−D≈P−ε2uiu′′j然后两边同乘以δ,(后来W.Rodi提出可将上式两边同乘上会更好)，此即有ij3kuu′′uu′′ijij(C−D)≈(P−ε)（4.5.13）kk于是由4.5.8式便可得uiu′′j2(P−ε)=P−δε+Φ+R（4.5.14）ijijijijk3再使用Φ的模型式4.5.9后便得到如下一组关于uu′′的代数关系

7、式：ijij⎡2⎤uu′′21−C⎢(Pij−δijP/)ε⎥ij2⎢3⎥=δε+（4.5.15）ijk3C1⎢1+1(P−)1⎥⎢Cε⎥⎣1⎦而其中的k和ε一般仍可分别由如下二个模型微分输运方程解出：∂(uk)∂k∂kk′′=(Cuu)+P−ε（4.5.16）kkl∂x∂xε∂xkkl2∂(uε)∂k∂εεεk′′=(Cuu)+CP−C（4.5.17）εklε1ε2∂x∂xε∂xkkkkl三、二方程涡粘性模