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1、第三章条件概率与条件期望为什么要研究条件概率与期望•在解决现实问题时，常常需要计算在部分信息已知时的概率和期望•条件概率和条件期望本身是计算概率和期望的有效方法2012/3/2Copyright©PeiZhang,20122本章主要内容•离散随机变量的条件概率与条件期望•连续随机变量的条件概率与条件期望•条件概率与条件期望的作用2012/3/2Copyright©PeiZhang,20123第一节离散随机变量的条件概率与条件期望•如果X和Y是离散随机变量，在Y=y给定的条件下，X的条件概率密度函数定义为：P{Xx,Yy}p(x,y)p(x
2、
3、y)P{Xx
4、Yy}X
5、YP{Yy}p(y)Y•在Y=y给定的条件下，X的条件分布密度函数定义为：FX
6、Y(x
7、y)P{Xx
8、Yy}pX
9、Y(a
10、y)ax2012/3/2Copyright©PeiZhang,20124•在Y=y的条件下，X的条件期望定义为：E[X
11、Yy]xP{Xx
12、Yy}xpX
13、Y(x
14、y)xx•特别地，如果X和Y独立，那么，前面所有的定义和无条件时的一样。2012/3/2Copyright©PeiZhang,20125例3.1•假定X和Y的联合概率密度函数p(x,y)为：p(1,1)=0
15、.5,p(1,2)=0.1,p(2,1)=0.1,p(2,2)=0.3计算在Y=1给定的条件下X的条件概率密度函数。2012/3/2Copyright©PeiZhang,20126例3.2•有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi，在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。明天下雨的概率为。计算在明天下雨时，运转的零件数的条件期望。2012/3/2Copyright©PeiZhang,20127第二节连续随机变量的条件概率与条件期望•X和Y是连续随机变量，联合密度函数为f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数定义为：f(x,y)
16、f(x
17、y)X
18、Yf(y)Y•给定Y=y时X的条件期望定义为：E[X
19、Yy]xf(x
20、y)dxX
21、Y2012/3/2Copyright©PeiZhang,20128例3.3•假定X和Y有联合密度6xy(2xy),0x1,0y1f(x,y)0,其他对于022、Y1]2012/3/2Copyright©
23、PeiZhang,201210第三节条件概率与条件期望的应用一、通过取条件期望计算期望•对于任何的随机变量X和Y，条件期望的重要性质：E[X]E[E[X
24、Y]]注意：E[X
25、Y]本身是一个随机变量，是随机变量Y的函数，在Y=y处取值是E[X
26、Y=y]2012/3/2Copyright©PeiZhang,201211例3.5•假设我们正在读一本概率书和一本历史书，在读的一章概率书中的印刷错误数服从均值为2的泊松分布，在读的一章历史书中的印刷错误数服从均值为5的泊松分布，假定我们等可能地选取概率书或历史书，那么遇到的印刷错误数的期望是多少？201
27、2/3/2Copyright©PeiZhang,201212例3.6（几何分布的均值）•连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬币直至出现正面为止，问需要抛掷的次数的期望是多少？2012/3/2Copyright©PeiZhang,201213例3.7•某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经第1个门的通道行进2小时后，他将到达安全地。经第二个门的通道前进3小时后，他将回到原地。经过第三个门的通道前进5小时后，他还是回到原地。假定这个矿工每次都等可能地选取任意一个门，问直到他到达安全地所需时间的期望是多少？2012/3/2Copyright©PeiZhan
28、g,201214二、通过取条件期望计算方差•方差的计算公式为：22Var(X)E[X](E[X])用取条件期望分别计算两个期望值2012/3/2Copyright©PeiZhang,201215例3.8•连续地做每次成功率为p的独立试验。N是首次成功时的试验次数，求Var（N）2012/3/2Copyright©PeiZhang,201216三、通过取条件期望计算概率•E是一个事件，定义示性随机变量X为：1，若E发生X0，若E不发生由X的定义推出：E[X]=P(E)E[X
29、Y=y]=P(E
30、Y=y)2012/3/2Copyright
31、©PeiZhang,201217由此可以推出：P(E
32、Yy)P(Yy)，若Y是离散的yP(E)P（E
33、Yy）f(y)dy,若Y是
