4.5 反函数的概念

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1、上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务4.5反函数的概念反函数的概念对于函数，设它的定义域为，值域为，若对于每一个都有唯一确定的满足，则这样的对应也构成一个函数，称为原函数的反函数，记作．在习惯上，自变量常用表示，而因变量用表示，所以把它改写为．反函数的性质（1）原函数与其反函数的图象关于直线对称．（2）原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域．（3）奇函数的反函数仍是奇函数，偶函数没有反函数．（4）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．例1：求下列函数的定义域（1）；（2）

2、已知函数的定义域是，求的定义域．例2：求下列函数的解析式（1）已知，求；（2）设，求．12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务例3：某单位用木料制作如图2-1所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到）时用料最省？例4：求下列函数的反函数（1）（2）例5：（1）已知（、、是常数）的反函数是，求的值．（2）设点既在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求．12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成

3、强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务【当堂训练】1．1：已知，求（对数函数形式）1．2：已知，求2．1：已知求（指数函数形式）2．2：已知，求3．1：已知，求（根式形式）3．2：已知，求4.1：求的反函数（分式形式）12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务4.2求的反函数5．1已知，求的反函数（二次函数形式）5．2：已知函数，求6．1求的反函数（分段函数形式）6．2：已知处连续，求7.1已知的值12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中

4、学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务7．2已知，求8.1已知的图像过点，其反函数的图像过点，求的表达式。8.2已知的反函数为，若的图像经过点，求b的值。9.1已知函数的图像关于直线对称，求a的值9.2已知函数图像关于直线对称，求a的值12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务【家庭作业】一、填空题1、设函数，则满足的值为．2、函数的定义域为．3、（1）函数的反函数．（2）函数的反函数．4、（1）若函数的反函数的图象过点，则

5、．（2）若函数的反函数为，则．（3）对任意不等于的正数，函数的反函数的图象都经过点，则点的坐标是．（4）已知函数在上存在反函数，若的反函数过点，则函数的反函数图象必过点．图2-2-25、一块边长为的正方形铁片按图2-2-1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器（如图2-2-2），则容器的容积与的函数关系式是．图2-2-16、已知函数（定义域为，值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足．二、选择题7、在下列四组函数中，与表示同一函数的是（）(A)，(B)，(C)，(D)，12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资

6、队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务8、已知函数，若，则实数（）(A)(B)(C)2(D)9图2-39、如图2-3所示的图象所表示的函数的解析式为（）(A)(B)(C)(D)10、下列图形中，不可能是函数图象的是（）三、解答题11、图2-4为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图2-4所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（1）试建立从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；

7、（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室．12上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务12、图2-5如图2-5，直角梯形位于直线右侧的图形的面积为（其中O为坐标原点）．（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象．13、已知，函数．（1）求的反函数和反函数的定义域；（2）设，，比较与的大小．14、已知函数的