反函数的概念.ppt

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1、4.5反函数的概念引例甲、乙两地相距30公里，某人以10公里/小时的速度从甲地到乙地，1、将路程y（公里）表示成时间x（小时）的函数；2、将时间x（小时）表示成路程y（公里）的函数。y=10xx=y/10定义反函数的概念：一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，在D中总有唯一确定的x值和它对应，且满足y=f(x)，如果对A中任意一个值y，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作：x=f-1(y)在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为：y=f-1(x)，（x∈A）例题例1：求下列函数的反函数：（1）；（2）;探究1）反函数的反函数是什么？3）

2、任意一个函数都有反函数吗？反函数存在的条件是什么？原函数即原函数与反函数互为反函数2）反函数的定义域、值域与原函数有什么关系？从反函数的定义可知，反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。探求反函数成立的条件2xy=例1求下列函数的反函数（1）（）（2）（）（3）（）2xy=2xy=反函数成立条件：x与y必须一一对应在定义域上单调的函数是否一定有反函数？具有反函数的函数是否一定是单调函数？已知函数有反函数，则方程（A）有且只有一个实根（B）至多有一个实根（C）至少有一个实根（D）不同于以上结论为常数）………………（）B探究1）一次函数y=ax+b（a≠0）是否有反函数？2

3、）反比例函数（a≠0）是否有反函数？3）二次函数是否有反函数？什么情况下具有反函数？例1.判断下列函数是否存在反函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)存在不存在存在存在存在不存在求下列函数的反函数.(1)(2)解:(1)因此反函数为(2)解得：解得：因此反函数为归纳小结求反函数的步骤：1）通过解方程的方法变形，把x用y表示出来；2）对字母x、y进行互换；3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。例．求下列函数的反函数：注意:(1)求反函数一定要写反函数的定义域（原函数值域）。(2)当原函数是自然定义域时，反函数的定义域可以直接由反函数解析式求得。例1、求函数的反函数，并且在同一坐标内画出

4、原函数和其反函数的图象。xy解:由得:与互换,所求反函数为。从函数图像看：原函数和反函数图像关于y=x对称。探讨函数及其反函数的关系从函数角度看：从函数图像看：原函数和反函数图像关于y=x对称。若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数。反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域。点在原函数图象上点在反函数图象上.单调函数的反函数也是单调函数且两个函数具有相同的单调性.单调函数的反函数的单调性:反函数的概念小结存在反函数的是一一对应的与函数与函数互为反函数.充要条件是：(1)(2)对应法则互逆，定义域、值域互反.(3)求反函数的步骤：1）通过解方程的方法变形，把x用y表示出来；2）对

5、字母x、y进行互换；3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。例.已知，求解：因此解法二：设因此即点在图像上即点在图像上解得解毕例2.若点（1，2）既在函数图象上，又在它反函数的图象上，求实数的值。例3.已知,求a=-1,b=5x=14例4.若两条直线和关于直线对称,求的值.n=0.5,m=-6,m+n=-5.5原函数与反函数的交点一定在直线上吗？举出一些函数,使它的反函数是其本身,说明他们的图象有什么特征?函数的反函数是其本身函数图象关于直线对称.例.求证：函数的图像关于直线对称.分析：由于存在反函数，且因此，即证证：因此的图像关于直线对称.与的图像关于对称，证毕例.若函数的图象关于直线对

6、称,求实数的值.a=1反函数与原函数的奇偶性是否一致？答：偶函数没有反函数；奇函数不一定有反函数，若有，仍是奇函数。思考一个函数是否具有反函数与它的奇偶性有关吗?与单调性有关吗?请同学们研究如下问题:1、如果一个函数是奇函数,是否一定存在反函数?2、如果一个函数是偶函数,是否一定没有反函数?3、如果一个函数是单调函数,是否一定有反函数?4、如果一个函数不是单调函数,是否一定没有反函数?例：设函数，函数的图像与的图像关于直线对称，则………………（）小结：