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《08-09线性代数B备用试卷及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题（共6小题，满分18分）1．已知向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,2)，α3=(1,t,2)，且α3能由α1，α2线性表示，则t=.2．设A为4阶方阵，且满足A2-A-E=O，则R(A)=.3．设2n+1阶行列式满足aim=-ajm（i，j=1，2，…，n），则D2n+1=.4．设3阶方阵A与B相似,且A的3个特征值为1，2，3.B-1为B的逆矩阵.则trB-1=.5．设α1，α2，α3，α4为4维的列向量，且α2，α3，α
2、4线性无关，而α1，α2，α3线性相关，令A=(α1,α2,α3,α4)，则线性方程组Ax=0的基础解系解向量的个数为.6．设A为实对称阵，且
3、A
4、≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=_____．得分二、单项选择题（共6小题，满分18分）1、设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，若AAT=E，则(A*)-1=（）（A）(AT)*；（B）(A*)*；（C）(AT)-1；（D）(AT)T.2、设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）.（A）α1，α2，α3-α1；（B）α1，α1+α2，α1
5、+α3；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.3、设4阶方阵A=（a1，a2，a3，a4）可逆，令B=（a4，a3，a2，a1），其中a1，a2，a3，a4均为4维的列向量，又矩阵则B-1=（）.（A）A-1P1P2；（B）P1A-1P2；（C）P1P2A-1；（D）P2A-1P1.（共6页，第1页）4、设向量组α1，α2是方程组Ax=0的基础解系，β1，β2是方程组Ax=b的两个解向量，k1，k2是任意常数，则方程组Ax=b的通解为（）.（A）;（B）（C）（D）5、设矩阵相似A，则
6、R（A-2E）+R（A-E）=（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）5.6、设A=（aij）n×n为实对称矩阵，二次型为正定的充要条件是（）（A）
7、A
8、=0；（B）
9、A
10、≠0；（C）
11、A
12、＞0；（D）
13、A
14、＜0.得分三、解答题（共6小题，满分42分）1、求的值.（共6页，第2页）2、设A、B均为n阶方阵，B可逆，且满足A2+AB+B2=O，试证A和AB均可逆，并求出它们的逆.3、设齐次线性方程组的系数矩阵为A，若3阶非零方阵B满足AB=O，试求l及
15、B
16、的值.（共6页，第3页）4、判断向量组a1=（1，0，2，1），a2=（1
17、，2，0，1），a3=（2，1，3，0），a4=（2，5，-1，4）的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余的向量用这个极大无关组线性表示.5、试证g1=1，g2=1+x，g3=(1+x)2是线性空间R[x]3的一个基，并求由基1，x，x2到1，1+x，(1+x)2基的过渡矩阵.6、.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．（共6页，第4页）得分四、（本题满分8分）已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α
18、4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α4，求线性方程组Ax=β的通解.得分五、（本题满分9分）设矩阵相似于∧,求①a；②可逆矩阵P和对角矩阵∧，使P-1AP=∧.（共6页，第5页）得分六、（本题满分5分）设a1，a2，…，at是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量b不是线性方程组Ax=0的解，试证：b，b+a1，b+a2，…，b+at线性无关.（共6页，第6页）2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案及评分标准一、填空题（共6小题，满分18分）1．2；2．4；3．0；4．；5．1；6．．二、单
19、项选择题（共6小题，满分18分）1．（A）；2．(D)；3．（C）；4．（B）；5．（C）；6．(B)．三、解答题（共6小题，满分42分）1、解：……………（7分）2、设A、B均为n阶方阵，B可逆，且满足A2+AB+B2=O，试证A和AB均可逆，并求出它们的逆.解：由B可逆，
20、B
21、≠0，再由A2+AB+B2=O，得A（A+B）=-B2（*）两边取行列式得
22、A
23、
24、A+B
25、=(-1)n
26、B
27、2≠0，所以
28、A
29、≠0，
30、A+B
31、≠0，故A和A+B均可逆.……………（4分）在（*）的两边右乘-(B2)-1，得A(A+B)(-B2)-1=E所
32、以A-1=-(A+B)(B2)-1=-A(B-1)2-B-1;(A+B)-1=-(B2)-1A=-(B-1)2A.……………（7分）3、设齐次线性方程组的系数矩阵为A，若3阶非零方阵B满足AB=O，试求l及
33、B
34、的值.解：由AB=O知，B的3个列向
