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1、线性代数B期末试卷及答案2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10001.0100.设A01，则A＝0003082.A为n阶方阵,AAT=E且A0,则AE.1223．设方阵A4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t.3114.设向量组1,2,,m线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组1,2,,m,的秩为.5．设A为实对称阵，且
2、A
3、≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=．６．设R3的两组基为a1T1
4、,0,1，a31,0,11,1,1，a2；1(1,2,1,)T，22,3,4,33,4,3，则由基a1,a2,a3到基1,2,3的过渡矩阵为.得分二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[].(A)Dn中有两行元素对应成比例；(B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，线性相关，则(A)必可由，，线性表示；[].线性代数B期末试卷及答案(B)必可由，，线性表示；(C)必
5、可由，，线性表示；(D)必可由，，线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，2，－1P3123AP＝[].P，令P＝(P，P，P)，则P100000(A)010；(B)010；000001000100(C)010；(D)000．00－00－11４．设α].1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[(A)α1，α2，α3-α1；(B)α1，α1+α2，α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1；(D)α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则
6、A的秩Ｒ(A)=[].(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．６．实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是[].(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)
7、A
8、>0；(D)R(A)=n.得分5小题，每道题8分，满分40分）三、解答题（共1b1001.求D11b1b20的值.011b2b30011b3２.求向量组1(1,1,1,4),2(2,1,3,5),3(1,1,3,2),4(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.100３.设A、P均为3阶矩阵，且PTAP=010,若P
9、=(α1,α2,α3),000Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．线性代数B期末试卷及答案4．设A是n阶实对称矩阵，A22AO，若R(A)k(0kn)，求A3E.2205.设矩阵A=82a相似于对角矩阵，求a.006x1a1x2a12x3a13，得分四、（本题满分10分）对线性方程组x1a2x2a22x3a23，x1a3x2a32x3a33，x1a4x2a42x3a43.(1)若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若a13b,a2a4b(b0)，且已知方程的两个解a1(1,1,1)T,2
10、(1,1,1)T，试给出方程组的通解．得分五、（本题满分8分）设二次曲面方程axy2xz2byz1（a0）x经正交变换yQ，化成22221，求a、b的值及正交矩z阵Q.得分六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实特征值λ的特征向量，β为AT的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）线性代数B期末试卷及答案10001.01002.设A01，则A＝000308
11、2.A为n阶方阵,AAT=E且A0,则AE0.．设方阵A1224t3,B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t3311-3.4.设向量组1,2,,m线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组1,2,,m,的秩为m+1.5．设A为实对称阵，且
12、A
13、≠0，则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=____A1y__．６．设3的两组基为aT1,0,1，a1,0,1；R1,1,1，a2311(1,2,1,)T,22,3,4,33,4,3，则由基a1,a2,a3到基1,2,3的过渡234矩阵P=010．101得分二、单项选择
14、题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[D].(A)Dn中有两行元素对应成比例；(B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，(A)必可由，，线性表示.(B)线性
