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1、........2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)1.设,则= .2.为阶方阵,且.3.设方阵B为三阶非零矩阵,且AB=O,则.4.设向量组线性无关,向量b不能由它们线性表示,则向量组b的秩为 .5.设A为实对称阵,且
2、A
3、≠0,则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=.6.设的两组基为,,;T,,则由基到基.专业学习资料.........的过渡矩阵为.得分二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)1.设Dn为n阶行列式,则Dn=0的必要条件是[]
4、.(A)Dn中有两行元素对应成比例; (B)Dn中各行元素之和为零;(C)Dn中有一行元素全为零;(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组a,b,g线性无关,a,b,s线性相关,则[].(A)a必可由b,g,s线性表示;(B)b必可由a,g,s线性表示;(C)s必可由b,g,a线性表示;(D)g必可由b,a,s线性表示.3.设3阶方阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则P-1AP=[].(A);(B);.专业学习资料.........(C);(D).4.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的
5、是[].(A)α1,α2,α3-α1;(B)α1,α1+α2,α1+α3;(C)α1+α2,α2+α3,α3+α1;(D)α1-α2,α2-α3,α3-α1.5.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩R()=[].(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.6.实二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是[].(A)A的特征值全大于零;(B)A的负惯性指数为零;(C)
6、A
7、>0;(D)R(A)=n.得分三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分)1.求的值..专业学习资料.........2.求向量组,,,的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.3.设A、P均
8、为3阶矩阵,且若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ..专业学习资料.........4.设是阶实对称矩阵,,若,求.5.设矩阵相似于对角矩阵L,求a..专业学习资料.........得分四、(本题满分10分)对线性方程组(1)若两两不等,问方程组是否有解,为什么?(2)若,(b0),且已知方程的两个解,,试给出方程组的通解..专业学习资料.........得分五、(本题满分8分)设二次曲面方程()经正交变换,化成,求、的值及正交矩阵Q..专业学习资料.........得分.专业学习资料.........六、(本题满分6分)设A为n阶实矩阵,α为
9、A的对应于实特征值λ的特征向量,β为AT的对应于实特征值μ的特征向量,且λ≠μ,证明α与β正交.2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分).专业学习资料.........1.设,则= 2 .2.为阶方阵,且0.3.设方阵B为三阶非零矩阵,且AB=O,则-3.4.设向量组线性无关,向量b不能由它们线性表示,则向量组b的秩为 m+1 .5.设A为实对称阵,且
10、A
11、≠0,则二次型f=xTAx化为f=yTA-1y的线性变换是x=______.6.设的两组基为,,;,,则由基到基的
12、过渡矩阵P=.得分二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分).专业学习资料.........1.设为n阶行列式,则=0的必要条件是[ D ].(A)中有两行元素对应成比例; (B)中各行元素之和为零;(C)中有一行元素全为零;(D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组a,b,g线性无关,a,b,s线性相关,则[C].(A)a必可由b,g,s线性表示.(B)b必可由a,g,s线性表示.(C)s必可由b,g,a线性表示.(D)g必可由b,a,s线性表示.3.设3阶方阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则P
13、-1AP=[B].(A);(B);(C);(D).4.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是[D].(A)α1,α2,α3-α1;(B)α1,α1+α2,α1+α3;(C)α1+α2,α2+α3,α3+α1;(D)α1-α2,α2-α3,α3-α1..专业学习资料.........5.若矩阵有一个3阶子式不为0,则[C].(A)R()=1;(B)R()=2;(C)R()=3;(D)R()=4.6.实二次型f=x¢Ax为正定的充分必要条件是[A].(A)A的特征值全大于零;(B)