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1、线性代数B期末试卷及答案2008–2009学年第二学期《线性代数B》试卷2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）100001001.设A，则A＝.00100308T2.A为n阶方阵,AA=E且A0,则AE.1223．设方阵A4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t.3114.设向量组1,2,,m线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组1,2,,m,的秩为.TT-15．设A为实对称阵，且
2、A
3、≠0，则二次型f=xAx化为f=yAy的线性变换是x=．T3６．设R的两组基为a11,1,1，a21,0,1，a31,0,1；T1(1,2,1,)，2
4、2,3,4,33,4,3，则由基a1,a2,a3到基1,2,3的过渡矩阵为.得分二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[].(A)Dn中有两行元素对应成比例；(B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，线性相关，则[].(A)必可由，，线性表示；线性代数B期末试卷及答案(B)必可由，，线性表示；(C)必可由，，线性表示；(D)必可由，，线性表示.３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，－1P3，令P＝(P1，
5、P2，P3)，则PAP＝[].100000(A)010；(B)010；000001000100(C)010；(D)000．00－100－1４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[].(A)α1，α2，α3-α1；(B)α1，α1+α2，α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1；(D)α1-α2，α2-α3，α3-α1.５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ(A)=[].(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．T６．实二次型f＝xAx为正定的充分必要条件是[].(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；(C)
6、A
7、>0；(D)R(A)=n
8、.得分三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1b10011b1b201.求D的值.011b2b30011b3２.求向量组1(1,1,1,4),2(2,1,3,5),3(1,1,3,2),4(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.100T３.设A、P均为3阶矩阵，且PAP=010,若P=(α1,α2,α3),000TQ=(α1+α2,α2,α3),求QAQ．线性代数B期末试卷及答案24．设A是n阶实对称矩阵，A2AO，若R(A)k(0kn)，求A3E.2205.设矩阵A=82a相似于对角矩阵，求a.00623x1a1x2a1x3a1，得分23x1a
9、2x2a2x3a2，四、（本题满分10分）对线性方程组23x1a3x2a3x3a3，23x1a4x2a4x3a4.(1)若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若a1a3b,a2a4b(b0)，且已知方程的两个解TT1(1,1,1),2(1,1,1)，试给出方程组的通解．得分五、（本题满分8分）设二次曲面方程axy2xz2byz1（a0）x222经正交变换yQ，化成21，求a、b的值及正交矩z阵Q.得分六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，α为A的对应于实T特征值λ的特征向量，β为A的对应于实特征值μ的特征向量，且λ≠μ，证明α与β正交．2008–2009学年第
10、二学期《线性代数B》试卷参考答案2009年6月22日一二三四五六总分得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）线性代数B期末试卷及答案100001001.设A，则A＝2.00100308T2.A为n阶方阵,AA=E且A0,则AE0.1223．设方阵A4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t311-3.4.设向量组1,2,,m线性无关，向量不能由它们线性表示，则向量组1,2,,m,的秩为m+1.TT-15．设A为实对称阵，且
11、A
12、≠0，则二次型f=xAx化为f=yAy的线性1变换是x=____Ay__．T3６．设R的两组基为a11,1,1，a21,0,1，a31,0,1；T1(1
13、,2,1,),22,3,4,33,4,3，则由基a1,a2,a3到基1,2,3的过渡234矩阵P=010．101得分二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[D].(A)Dn中有两行元素对应成比例；(B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．2．若向量组，，线性无关，，，线性相关，则[C].(A)必可由，，线性表
