正态分布大数定律与中心极限定理

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1、一、正态分布的概率密度函数与分布函数1.背景：正态分布是现代统计学的基础。18世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的“中间大，两头小”的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。2.一般正态分布的概率密度函数与分布函数第四章正态分布、大数定律与中心极限定理记作其中及＞0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。设连续型随机变量X的概率密度为1.正态变量的密度函数第四

2、章正态分布、大数定律与中心极限定理特别地，当时，正态分布叫做标准正态分布。其概率密度为2.正态分布的密度曲线若固定μ=0第四章正态分布、大数定律与中心极限定理0.53.正态变量的分布函数4.标准正态分布的密度函数与分布函数第四章正态分布、大数定律与中心极限定理4.正态密度函数的性质第四章正态分布、大数定律与中心极限定理（3）第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第四章正态分布、大数定律与中心极限定理若,求X落在区间内的概率，其中例题4.1.2例题4.1.1,解：查表可得：故第四章正态分布、大数定

3、律与中心极限定理解查表得第四章正态分布、大数定律与中心极限定理拐点拐点随机变量X落在之外的概率小于3‰。通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性原理，我们常把区间看作是随机变量X的实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3σ法则）。第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例4.1.3把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度为d度,已知液体的温度T是随机变量，且（1）若度的概率；度，求（2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99，问d至少为多少度？解（

4、1）由已知，所求的概率为（2）据题意，需求d,使得因为第四章正态分布、大数定律与中心极限定理利用0.9901正态分布表，有所以即故设定温度d至少为81.165度.一般地，给定实数存在实数使得为随机变量X上的则称百分位点.百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明第四章正态分布、大数定律与中心极限定理二、正态分布的数字特征1.数学期望第四章正态分布、大数定律与中心极限定理1.方差3.中心矩第四章正态分布、大数定律与中心极限定理若k为偶数，若k为奇数，奇函数对称积分则：第四章正态分布、大数定律与

5、中心极限定理例题4.1.4第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例题4.1.5（2009，4分）第四章正态分布、大数定律与中心极限定理二维随机变量(X,Y)的正态分布概率密度表示如下：其中，参数及分别是随机变量X及Y的数学期望，及分别是它们的标准差，参数参数r是它们的相关系数。三、二维正态分布1.二维正态分布的密度第四章正态分布、大数定律与中心极限定理2.二维正态分布的边缘密度定理4.2.1其中第四章正态分布、大数定律与中心极限定理置换积分变量但是，一定注意，反过来，两个一维正态分布未必能确定二

6、维正态分布.第四章正态分布、大数定律与中心极限定理3.二维正态分布的独立性与相关系数应用相关系数公式能够计算出：第四章正态分布、大数定律与中心极限定理另外,若设相关系数为零，则如果随机变量X与Y独立,并且都服从正态分布,则在二维正态分布中，独立性与不相关是一致的，这是二维正态分布的一个重要特征.第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例4.2.2设随机变量X与Y独立,并且都服从正态分布N(0,1),求的概率密度.解第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例题4.2.3第四章正态分布、大数定律与中心极

7、限定理四、正态变量的线性函数的分布定理4.3.1证由于是单调函数，且反函数为第四章正态分布、大数定律与中心极限定理推论定理4.3.2证第四章正态分布、大数定律与中心极限定理以上结论还可以推广到更一般的情况第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例题4.3.1定理4.3.3第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例题4.3.2第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第四章正态分布、大数定律与中心极限定理四、切比雪夫定理1.背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附

8、近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？2.切比雪夫定理（不等式）：第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第四章正态分布、大数定律与中心极限定理例题4.4.1设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数，恒有定理2（切比雪夫大数定理）分别有数学期望及方差D(X1),一常数K，使得第四章正态分布、大数定律与中心极限定理证第四章正态分布、大数定律与中心极限定理第四章正态分布、大数