初中数学竞赛题汇编(几何部分1)(含解答)

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1、初中数学竞赛题汇编（几何部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1：ΔABC中，AC⊥BC，CE⊥AB，ＡＦ平分∠CAB，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ，交ＡＢ于Ｄ。求证：ＡＣ＝ＡＤ。证明分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．易证RtΔAGF≌RtΔAEF．∴AＥ＝AＧ．则易证RtΔAEC≌RtΔAGD．∴ＡＣ＝ＡＤ．例2：ΔABC中，∠A＝100°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ABC．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ。证明分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，∠A＝∠BED＝100°．由已知可得：∠C＝

2、40°，∠DBF＝20°．∵ＢＦ＝ＢＤ，∴∠BFD＝80°．由三角形外角性质可得：∠CDF＝40°＝∠C．∴ＣＦ＝ＤＦ．∵∠BED＝100°，∴∠BFD＝∠DEF＝80°，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．例3：已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分∠BAC，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．证明分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴DE＝FC＝(AC－AB)＝2．-6-例4：已知在ΔABC中，∠A＝108°，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分∠ABC．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋

3、ＣＤ．证明分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：∠ABD＝∠DBE＝18°，∠A＝∠BED＝108°，∠C＝∠ABC＝36°．∴∠DEC＝∠EDC＝72°，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．例5：如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是△ABC的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ分别与ＢＣ相交I、H，连接ＦＧ．（１）求证：FG＝(AB＋BC＋CA)（２）若(a)ＢＤ与ＣＥ分别是△ABC的内角平分线，如图（２）；(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线，如图（３）．则在图（２

4、）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．　图（１）　　　　　图（２）　　　　　　图（３）证明分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴FG＝(AB＋BC＋CA)．同理可得图（２）中FG＝(AB＋CA－BC)；图（３）中FG＝(BC＋CA－AB)。-6-例6：如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交∠BAC的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ

5、＝ＣＮ．证明分析：连接ＤＢ、ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．例7：如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．证明分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90°即可．∵∠FAB＋∠BAE＝∠EAD＋∠BAE＝90°．∴∠FBA＝∠EDA．又∵∠FAB＝∠EDA＝90°，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ASA）∴ＤＥ＝ＤＦ．例8：如图，在ΔABC中，∠B＝2∠C，ＡＤ平分∠BAC．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ

6、．证明分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠EDC．又∵∠B＝2∠C，∴∠C＝∠EDC．∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．例9：如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若∠1＝∠2＝∠3，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．证明分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转∠1所得．-6-∵∠B＋∠1＝∠ADE＋∠2，且∠1＝∠2．∴∠B＝∠ADE．又∵∠1＝∠3．∴∠BAC＝∠DAE．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．例10：在四边形ＡＢＣＤ中，

7、ＡＣ平分∠BAD，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且AE＝(AB＋AD)．求∠ABC＋∠ADC的度数．证明分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．∴∠F＝∠CAE＝∠DAC．∴有ΔCBF≌ΔCDA（SAS）．∴∠CBF＝∠D．∴∠ABC＋∠ADC＝180°．例11：如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．求证：∠EAF＝45°．证明分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90°得ΔABG．∴∠GAB＝∠FAD．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴∠FAE＝∠GAE＝∠FAG＝45°．例12：如图，ΔABC与ΔEDC均为等

8、腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形