全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题及答案

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1、全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题1、如图，圆O与圆D相交于AB,两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.解:（1）连OAOBOCAC,,,，因为O为圆心，AB=BC，所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC.因为OD⊥ABDB,⊥BC，所以∠DOB=90°−∠OBA=90°−∠OBC=∠DBO，所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC.222设AC=2y(0

2、，AB=l，则a=x+y，S=ya(+x)，22222222aSl=y+(a+x)=y+a+2ax+x=2a+2ax=2(aa+x)=.y因为∠ABC=∠2OBA=∠2OAB=∠BDO,AB=BC,DB=DO，BDBOraal所以△BDO∽△ABC，所以=，即=，故r=.ABACl2y2y2222ala2aSSa3S2S所以r==⋅=⋅()≥，即r≥，224y4yy2y222S其中等号当a=y时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为.22、如图，给定锐角三角形ABC，BC

3、l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF=EG．下面给出证明．因为∠FCD=∠EAB，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得CDCEDF=BE⋅．同理可得EG=AD⋅．ABABADBE又因为tan∠ACB==，所以有BECD⋅=ADCE⋅，CDCE于是可得DF=EG．解法2：结论是DF=EG．下面给出证明连接DE，因为∠ADB=∠AEB=90°，所以A，B，D，E四点共圆，故∠CED=∠ABC．1又l是⊙O的过点C的切线，所以∠ACG=∠ABC．所以，∠CED=∠ACG，于是DE

4、∥FG，故DF＝EG．3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC的三边长分别为a=6，b=4，c=5时，∠A=2∠B．………………5分如图，当∠A=2∠B时，延长BA至点D，使AD=AC=b．连接CD，则△ACD为等腰三角形．因为∠BAC为△ACD的一个外角，所以∠BAC=∠2D．由已知，∠BAC=∠2B，所以∠B=∠D．所以△CBD为等腰三角形．又∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，有△ACD∽△CBD，于是ADCDba=，即=，CDBDab+c2所以a

5、=b(b+c)．2而6=×4(45)+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．2若∠A=2∠B，可得a=b(b+c)．有如下三种情形：（i）当a>c>b时，设a=n+1，c=n，b=n−1（n为大于1的正整数），22代入a=b(b+c)，得(n+1)=(n−12)(n−1)，解得n=5，有a=6，b=4，c=5；（ⅱ）当c>a>b时，设c=n+1，a=n，b=n−1（n为大于1的正整数），22代入a=b(b+c)，得n=(n−1)⋅2n，解得n=2，有a=2，b=1，c=3，此时不能构成三

6、角形；（ⅲ）当a>b>c时，设a=n+1，b=n，c=n−1（n为大于1的正整数），222代入a=b(b+c)，得(n+1)=n(2n−1)，即n−3n−1=0，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．4、△ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,abc,,都是整数，且ab,的最大公约数是2.点Go和点I分别为△ABC的重心和内心，且∠GIC=90，求△ABC的周长.解：如图，连结GA，GB，过G，I作直线交BC、AC于点E、F，作△AB

7、C的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P，内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为hh,ab2∵S=rp=pp(−ap)(−bp)(−c)∆ABC(p−ap)(−bp)(−c)∴=rp2r易知：CD=pc−,在RtCIE∆中，DE=p−c(p−ap)(−b)即DE=p(p−ap)(−b)ab∴CE=CD+DE=(p−c)+=pp又∵CI⊥EFCI,平分∠ACB，所以CE＝CF由S=S+S+S+S∆ABC∆ABG∆BEG∆AFG∆FECS1abh1abh1ab∆ABCab得：S＝+×（a−)×+×（b−)×+×2××r∆ABC32p32p3

8、2pS1p−b1p−aab∆ABC即S＝+(××ah)×+(××bh)×+×rp∆ABCab2323p23p