初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

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1、初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n)(m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3)(m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x

2、+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61即x＝。例5：证明是无理数。证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，

3、所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。例6：；；。解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）方法1方法2设，两边平方得：由此得解之得或所以。（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0所以(x－4)＝0，即x＝4所以＝4例8：解：

4、用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0求得x1＝－1，x2＝2，x3＝。因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，所以x＝即＝。例9：设的整数部分为x，小数部分为y，试求的值。解：而所以x＝2，y＝因此＝。例10：已知x＋y＋z＝3a(a≠0，且x、y、z不全相等)，求的值。解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0由于x

5、、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故＝＝例11：已知x＝求的值。解：所以x－4＝－(x－4)2＝3，x2－8x＋13＝0，所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10，原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2，所以＝＝5。例12：已知＝＝求的值解：方法1当a＋b＋c≠0时，据等比定理有＝＝＝＝1由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b所以＝＝8。当a

6、＋b＋c＝0时，＝＝－1。方法2设＝＝＝k，则a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1)(a＋b＋c)，即(a＋b＋c)(k－1)＝0，故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。例13：计算…+解：…+＝++…+＝()+()+()+…+()＝+++…+＝＝。例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9=(

7、x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)　　　　=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8)　　=9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1)　　　　=(x－1)(x2＋x－8)方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8=(x3－x2)＋(x2－9x