初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

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1、初中数学竞赛题汇编(代数部分1)江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2=m+1,n2=n+1,且m≠n,求m5+n5的值。解:由已知条件可知,m、n是方程x2-x-1=0两个不相等的根。∴m+n=1,mn=-1∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3或m2+n2=m+n+2=3又∵m3+n3=(m+n)(m2-mn+n2)=4∴m5+n5=(m3+n3)(m2+n2)-(mn)2(m+n)=11例2已知解:设,则u+v+w=1……①……②由②得即uv+vw+wu=0将①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1所以u2+v2+w2=1即例3已知x4+x3+x2+x

2、+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+……x2014=。解:1+x+x2+x3+x4+…x2014=(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)=(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+x2010(1+x+x2+x3+x4)=0例4:证明循环小数为有理数。证明:设=x…①将①两边同乘以100,得…②②-①,得99x=261.54-2.61即x=。例5:证明是无理数。证明(反证法):假设不是无理数,则必为有理数,设=(p、q是互质的自然数),两边平方有p2=2q2…①,

3、所以p一定是偶数,设p=2m(m为自然数),代入①整理得q=2m2,所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾,所以不是有理数,即为有理数。例6:;;。解:例7:化简(1);(2)(3);(4);(5);(6)。解:(1)方法1方法2设,两边平方得:由此得解之得或所以。(2)(3)(4)设,两边平方得:由此得解之得所以=+1+(5)设则所以(6)利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解答。设两边立方得:即x3-6x-40=0将方程左边分解因式得(x-4)(x2+4x+10)=0因(x2+4x+10)=(x+2)2+6>0所以(x-4)=0,即x=4所以=4例8:解:

4、用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点,有,两边平方得即继续两边平方得x4-4x2+4=2+x,即x4-4x2-x+2=0,左边分解因式得(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0求得x1=-1,x2=2,x3=。因0<x<2,所以x=-1、x=2、x=应舍去,所以x=即=。例9:设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值。解:而所以x=2,y=因此=。例10:已知x+y+z=3a(a≠0,且x、y、z不全相等),求的值。解:设x-a=u,y-a=v,z-a=w,则=且有已知有u+v+w=0,将u+v+w=0两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于x

5、、y、z不全相等,所以u、v、w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,故==例11:已知x=求的值。解:所以x-4=-(x-4)2=3,x2-8x+13=0,所以,原式分子x4-6x3-2x2+18x+23=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10,原式分母x2-8x+15=(x2-8x+13)+2=2,所以==5。例12:已知==求的值解:方法1当a+b+c≠0时,据等比定理有====1由此得a+b-c=c,b+c-a=a,c+a-b=b所以==8。当a

6、+b+c=0时,==-1。方法2设===k,则a+b=(k+1)c…①,b+c=(k+1)a…②,c+a=(k+1)b…③,①+②+③得2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),即(a+b+c)(k-1)=0,故k=1或a+b+c=0,以下同上。例13:计算…+解:…+=++…+=()+()+()+…+()=+++…+==。例14:分解因式(1)x3-9x+8;(2)(x2+x+1)(x2+x+2)-12;。(3)(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2);(4)x2+3xy+2y2+4x+5y+3。解:(1)方法1:x3-9x+8=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(

7、x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)方法2:x3-9x+8=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)    =x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)方法3:x3-9x+8=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)  =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)    =(x-1)(x2+x-8)方法4:x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=(x3-x2)+(x2-9x

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