溢流坝反弧段的动量积分方程组及其数值解

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1、溢流坝反弧段的动量积分方程组及其数值解牛争鸣李建中(陕西机械学院)提要本文根据水流连续，『生原理与动量原理，推导出考虑T水深的变化，边幂层的发展，重力及离力作．q的溢流坝反弧段连续性方程和动量积分方程，并用四阶龙格库塔法对其求解经验证，边界层厚度与，深的数值解与实测值基本一致．说明本文推导的积分方程纽可供实际应用主题词溢流坝边界层动量方程数值计算溢流坝反弧段边界层的数值计算是近几年才开始的，已有的方法[1]、[2]、[3]、[4)都是求饵动量积分方程，只是各方法所考虑的因素不同，方程的形式不同而已。文献[1]推导了溢流坝反弧段的边界层动

2、量积分方程，考虑了重力殛离心力的影响。值该方程在求解时，假定流速指数为常数，水深沿程不变，切应力o与陡坡上相同，边界层特忭厚度的定义与平板边界层相同。有关文献的实测资料表明，这些假定多与实际情况不符。文献[2利用赫德(Head)的传输方程计算了溢流反弧段边界层的发展，但计算结果在反弧中点后与实测值差异很大，变化趋势相反。文献[3]利用墨菲(Manphy)的曲面边界层动量积分方程计算的结果也是如此。文献韶]、Ca]都是根据气体在曲面上流动的方程而计算的，这说明以往适用于气流的曲面边界层的动量积分方程对有自由表面，重力与离心办作．用明显，特

3、别是存在着双向压力梯度的溢流坝反弧段是不适应的。文献[4]利埚赫兹(Hinze)的极坐标形式的雷诺方程，推导了曲面边界层动量积舟方程，但计算时同样取水探q-流球指数为常数，所暑j压强分布的经验公式也有一定的局性。由上可见，以上所述的动量积分方程都未考虑水深、流速指数的变化，计算结果与实际也不完全相符，陶此溢流坝反弧段的边界层计算有必要进一步的研究1溢流坝反弧段动量积分方程组以往的边界层动量方程都是仅取边界层以内的水涤作为控制体推导的，在溢流反弧段，水深与边界层厚度为同一数量级，边界层的发艟必然引起水深的变化，而水深的变化又必然作为边界层

4、的外部条件影响边界层的发展。因此我们取整个愿皿段水涤内的一个微元段作为l9．控制体推导连续性方程与砖量积分方程。溢流坝反弧段的水流与几何参赞如图1所示取正交曲线坐标系，为法向坐标，为切向坐标，沿流向为正，上切点为坐标原点。为反弧半径，O为反弧段圆心角，a为微元段所在断面与铅垂线的夹角，．正方向为逆时针方向。1．1连续性方程图l镒流坝反弧段水流与几何参数设表示反弧段沿水深的流速分布：，o≤≤d“={(1)ud《≤文献[5]、)_-63，[7：指出，溢流反弧段的流速分区性质是很显的。边界层内柏流速指数律≈=u(／d)／’(2)有较大的适应性

5、。边界层以外势流区驹流速分布：U，=U。，八l—y／R)≈u。，(1-F／R)(3)是近似成立的。式中U。为边界层外缘的势流流速，为硅面势流流谜。根据连续原理，沿任一过水断面对流速积分即为单宽流量，且沿程不变；』：a=』：·+u，a=’将(2)，(3)式代入积分后：一i(1一一手)+h(I+一务)=口(4)在溢流反弧段，边界层位移厚度d的定义应为；udy：f(ud(5)代入(2)(3)式后可得；：[1-](6)将(6)式代入(4)式：u，[(1+I#2R)一d]=g(7)这就是溢流坝反弧段连续性方程的积分形式，对上式求导并加以整理后得；

6、等一c+砉苦：c+去一，·訾(8)这就是边界层位移厚度及水深应满足的连续性方程的微分形式。1．2滏漉反弧段的动量积分方程如图1所示，]～l与2～2断面之间是弧长为d的微元段，两断面之间的夹角为d，根据20与0正方向的定，d与n的芙糸厘为：dx～Rdo．或dd／d=一l／月(9J在df时段内流入1～1断面与流出2～2断面的动量分别为：，=d』p“，ddt肛+!∽+∽曲略去高阶微量后，尊位时问内从控制体流出流入n句动量差为：=：岳a代入(1)式后：訾[虮](10)培(10)式时加减』：·u，妇后可得：軎虮ju--uzm]‘”IIⅢ在溢流反弧

7、段，边界层动量损失厚度为z=f：(U-u‘代入(11)式，则可得到(11)式中的三项积分分别为，·=～等·+等+‘]【13)I：1+／-+芸一d(1++)lJ，(14)Ⅲ：一U2(d+粤)．(15)曲于毒<<1，<<1，略去上面积分中的高l骱项，；项积分相加并经过褴理后可得：鲁dxu[(一n-1·若+而1。志)川1+毒)一](16根据实测值分析，在相当太的范围内，(16)式中。与‘相差近倍，在反弧段值较大，二者不为间一数量级。因此由(16)式可得告=百du；[_(一·妥)++一】(17>将(6)式代凡(17)式，并令H=]+鲁+≥为一形

8、状因子后得：=pd+砉)一](18)对(18)式求导并经过整理后可得t={z+)一]譬+U+等)dh一面日ddj警])(1q)式中。dH与其它项相比完全可忽略不计。作用在微元段上的力有动水压力、重力与壁面阻