第一章线性系统的状态空间描述

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1、第一章线性系统的描述方法系统：由一些具有特定功能的组件，为了完成预定的目标，相互联接在一起而成的系统。1.基本概念T系统输入向量u=[u1,…,up]，外部环境对系统的作用；T系统输出向量y=[y1,…,yq]，系统对外部环境的作用；两者为系统的外部变量。T向量x=[x1,…,xn]为内部变量，描述系统内部所处行为状态的变量。线性系统时域理论中的数学描述分为两类：（1）系统的外部描述：输入-输出描述。若系统为SISO线性定常系统，数学方程为一个n阶微分方程及对应的传函。特点：不同内部结构的系统可能有相

2、同的外部特性，通常是一种不完全描述。（2）系统的内部描述：状态空间描述。系统由动力学部件和输出部件组成。特点：完全表示系统的一切动态特性，是一种完全描述。概念（1）松弛性：系统在时刻t0当且仅当输出y[t0，∞)由输入u[t0，∞)唯一确定(在时刻t0不存储能量)，称系统在时刻t0是松弛的。（2）因果性：若系统在时刻t的输出仅取决于时刻t及在t之前的输入，而与t之后的输入无关，称系统具有因果性。（3）线性：一个松弛系统当且仅当对于任何输入u1和u2及任何实数a1和a2，有H(a1u1+c2u2)=a1

3、H(u1)+a2H(u2)（4）时不变形（定常性）：：一个松弛系统当且仅当对于任何输入u和任何实数a有H(Qau)=QaHuQa称位移算子，对所有的t有Qau=u(t-a)2.系统的传递函数描述法（1）单输入-单输出系统的传函常系数微分方程描述的线性定常系统为(n)(n-1)(1)y(t)+an-1y(t)+···+a1y(t)+a0y(t)(m)(m-1)(1)=bmu(t)+bm-1u(t)+···+b1u(t)+b0u(t)m

4、a0)Y(s)=(bms+bm-1s+···+b1s+b0)U(s)mm1-Y(s)bs+bs+...+b1s+b0mm1-G(s)==n1-nU(s)s+as+...+as+a1-n10如果m≤n，则G(s)为真有理式，此时称系统为物理能实现的。n1-ns+as+...+as+a=0特征方程；零极点。1-n10零极点相消后剩下的零极点如都在复平面的左半开平面内，系统是最小相位的。（2）系统的传递函数矩阵多输入-多输出的线性定常系统，输入变量组{u1,u2,…,ur}，输出变量组{y1,y2,…,ym

5、}，取拉氏变换可得⎧yˆ(s)=g(s)uˆ(s)+g(s)uˆ(s)+⋅⋅⋅+g(s)uˆ(s)11111221rr⎪⎪yˆ2(s)=g21(s)uˆ1(s)+g22(s)uˆ2(s)+⋅⋅⋅+g2r(s)uˆr(s)⎨⎪⋅⋅⋅⎪yˆ(s)=g(s)uˆ(s)+g(s)uˆ(s)+⋅⋅⋅+g(s)uˆ(s)⎩mm11m22mrr向量形式：⎡yˆ1(s)⎤⎡g11(s)Lg1r(s)⎤⎡uˆ1(s)⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥yˆ(s)=M=MMM=G(s)uˆ(s)⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢yˆ(s)⎥⎢g(s)Lg(s)⎥

6、⎢uˆ(s)⎥⎣m⎦⎣m1mr⎦⎣r⎦G(s)为系统的传递函数矩阵，当且仅当limG(s)=零阵m〈ns→∞或limG(s)=非零常数矩阵m=ns→∞G(s)为严格真的或真的有理分式矩阵。当且仅当G(s)为真的或严格真的时，在物理上才可实现。第一章线性系统的状态空间描述1.内容∑系统的状态空间描述∑化输入－输出描述为状态空间描述∑由状态空间描述导出传递函数矩阵∑线性系统的坐标转换∑组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵传递函数描述的局限性输入－输出描述不能揭示系统的内部行为。如图所给出的系统，系统的传递

7、函数为：s−111gs()==s+111ss−+ux1s−1ys−1s+1从输入－输出角度来看，系统是稳定的。当初始条件不为零时，系统内部变量x的运动过程为：ttt−τx()tx=+0e∫eud()ττ0在系统内部变量tx的运动过程中具有e增长项，经过一段时间后，这个系统将达到饱和或失效。2.基本概念∑系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。状态变量：构成系统状态的变量。∑状态向量设系统状态变量为x1(t),x2(t),?,xn(t)写成向量形式称为状态向量，记为⎡x1(t)⎤

8、⎢⎥x(t)x(t)=⎢2⎥⎢@⎥⎢⎥x(t)⎣n⎦∑状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间。状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。3.状态空间表达式∑设系统r个输入变量：u1(t),u2(t),?,ur(t)∑m个输出：y1(t),y2(t),?,ym(t)∑n个状态变量：x1(t),x2(t),?,xn(t)例：图示RLC电路，建立状态空间描述。RLiLuuCc电容C和电感L两个独立储能元件，有两个状态变量，如图