第二章线性系统的状态空间描述.ppt

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1、第二章线性系统的状态空间描述2.1线性系统的数学描述2.2状态空间的基本概念2.3线性定常连续系统的状态空间表达式2.4线性离散系统的状态空间表达式2.5状态空间的线性变换2.6线性定常连续系统状态方程的解2.7传递函数矩阵教学要求：正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念。熟练掌握状态空间的表达式，线性变换。线性定常系统状态方程的求解方法，了解线性离散系统状态方程的求解方法。重点内容：状态空间表达式的建立，状态状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，

2、并画出状态变量图，以及可控、可观、对角和约当标准型。2.1线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念系统的外部描述传递函数系统的内部描述状态空间描述1.输入、输出描述2.松弛性:若系统的输出由输入System唯一确定,则称系统在是松弛的。算子，在不存储能量：瞬时系统无记忆系统对时刻松弛的系统：对初始松弛的系统：3.因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻之前输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。对具有因果性的松弛系统：4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入及任意常数,均有(可加性),(齐次性),则该系统称为线性的，否则为非线性。5.定常性（时

3、不变性）:1)定义:-位移算子2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数,均有则称系统是定常的。2.2状态空间的基本概念1.状态:表征系统运动的信息和行为。2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量。3.状态向量：4.状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间.5.状态方程：6.输出方程：7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}线性时变系统线性定常系统线性定常离散系统状态空间分析法举例例1求图示机械系统的状态空间表达式外力位移牛顿力学定律令---弹性系数阻尼系数动态方程如下状态空间表达式为：例2求图示RLC回路的状态空间表达式解：以作为

4、中间变量，列写该回路的微分方程选为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵—向量的形式为：令为状态向量则：例3.试求用电枢电压控制的他激电动机的状态空间表达式解：由电压定理：由转矩平衡定律：转动惯量，粘性摩擦常数，电磁转矩常数，电势常数令例4.一长度为l，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达式。设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在水平方向，由牛顿第二定律即：在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡即:则有：联立求解：消元后：选取状态变量：2.3线性定常连续系统的状态空间

5、表达式微分方程、传递函数、结构图求{A，B，C，D}1.由系统微分方程建立状态空间表达式1）系统输入量中不含导数项选取：状态空间表达式：例1设求（A，B，C，D）解：选则：状态空间表达式为2）系统输入量中含有导数项如果单输入—单输出系统的微分方程为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。设，选取：即：将代入得：选择，使得上式中u的各阶导数项的系数都等于0，即可解得：令上式中u的系数为，则：最后可得系统的状态方程：可写成向量-矩阵的形式：即：状态变量结构图例2：试写出它的状态空间表达式。解：则

6、：状态空间表达式为2.传递函数化为状态空间表达式设单输入/输出系统的传递函数：严格真分式传函前馈系数上式中的系数用长除法得到：（1）串联分解的形式选取状态变量则状态方程为：输出方程为：写成向量-矩阵形式为：这样的A阵又称友矩阵，若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为可控标准型。当时，A，b不变。系统{A，b，C，D}称为G（s）的可控标准形实现。例：试求的可控标准形。解：该系统传递函数：串联分解并引入中间变量令则：状态变量图：可控标准形可观标准形可观标准形并联分解（对角标准形）把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式只含单实极点，设可分解为：其中为系统的单实极

7、点则：其中：为极点的留数a.选取状态变量:将上式整理，并进行拉氏变换，可得状态方程再将代入：展开：特点：传函极点全1对应极点的留数b.选取状态变量:状态变量图（并联结构）对角标准形(a)对角标准形(b)b.含重实极点为了简单起见，设g(s)只有r重极点，则传递函数的部分式展开式为：其中选取状态变量的拉氏变换为：化为状态变量的一阶微分方程，则有..输入方程.状态空间表达式...状态变量图例：设系统传递函数为：试求其状态空间表达式。解：分母三重极点用部分分式为：状态空间表达式2.4线性离散系统的状态空间表达式离散系统：一处或多处的信号是离散的脉冲序列、数字序列，采样间

8、隔内保持常