材料力学II-能量法的应用补充

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1、材料力学II能量法的应用LT2013.08能量法的应用能量法研究梁的横向剪切效应能量法研究杆件的冲击应力能量法研究压杆的临界载荷能量法研究梁柱纵横弯曲变形与应力计算等问题此外，另一重要应用为求解静不定问题。梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应梁的横向剪切效应压杆的临界载荷-能量法应用平衡的三种形式：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。压杆的临界载荷压杆的临界载荷稳定性判定准则：根据Dirichlet定理，物体的平衡位置上其势能Π具有极小值或极大值。若Π为极

2、小，则平衡是稳定的。如果给物体一微小干扰，则新的临近位置的势能与原始状态势能的差值ΔΠ>0，一旦去除干扰，物体必然要回复到势能极小的最低位置。反之，若Π为极大，则平衡是不稳定的。物体受干扰后ΔΠ<0，去除干扰，物体的位置不能复原，将继续向势能小的方向离去。压杆的临界载荷若ΔΠ>0，原始状态ΔΠ=min，属于稳定平衡；若ΔΠ<0，原始状态ΔΠ=max，属于不稳定平衡；若ΔΠ=0，势能不变，属于随遇平衡。平衡相关物理概念从数学观点看可以归结为寻求势能函数的极小值和极大值的微分或变分问题。压杆的临界载荷两类失稳形式：弹性体的平衡问题，其稳定性取决于结构的几何构造、

3、约束条件和加载方式等因素。一般归结为两类失稳形式。（1）分支点失稳问题；（2）极值点失稳问题。压杆的临界载荷——分支点失稳问题以中心受压理想等直杆件为例。P1Pcr时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于弯曲平衡状态，但直线状态是不稳定的，若给以干扰，压杆则不能回复直线构形而将继续弯曲直到图示B点，此时挠度为f2。曲线AB称为第二平衡路径。A点称为分支点或分叉点（bifurcat

4、ionpoint）。压杆的临界载荷A点它是原始平衡路径与第二平衡路径的交点，此点相对应的载荷则为临界载荷Pcr，此时的平衡状态则为临界状态。到达临界状态之前的平衡状态称为前屈曲平衡状态（Pre-bucklingequilibriumconfiguration）；而超过临界状态之后的平衡状态则称为后屈曲平衡状态（Post-bucklingequilibriumconfiguration）。压杆的临界载荷分支点A处第二路径的切线为水平，因此，在一阶无穷小的邻域内，挠度为不定值，也即载荷保持常数不变而压杆可以有任意微小弯曲的平衡形式。此即所谓的随遇平衡概念。压杆的

5、临界载荷变换横坐标为压杆缩短变形量Δ，相应图形如右图所示。压杆的临界载荷——极值点失稳问题某些变形体系不存在分支点，此时不能用平衡形式发生分支现象来定义失稳特征。但这类系统所受载荷与变形的关系曲线常具有极值点。这类问题在实际工程中也是比较多的，如有缺陷的压杆（制造工艺缺陷，加载装置偏差等）或承受偏心载荷的杆件。杆件自始至终都处于弯曲平衡状态，更大可能是出现局部塑形变形，以致曲线出现极值点。载荷达到极大值，呈现不稳定现象。此极限承载能力也定义为临界载荷Pcr。压杆的临界载荷——极值点失稳问题压杆的临界载荷——极值点失稳问题曲线OA部分为稳定平衡，极值点以后部分

6、为不稳定平衡。A点为临界状态。对于受轴向压力P作用的扁锥，力P与轴向位移间的关系如图b所示。不仅存在相对极大值A点，还存在相对极小值B点。这类无分支点的稳定问题也称为跳跃(snap)问题。压杆的临界载荷——极值点失稳问题压杆的临界载荷稳定性问题研究经典方法主要有四种：静力平衡法（Euler欧拉方法）；能量法（Timoshenko铁摩辛柯法）；缺陷法；振动法。压杆的临界载荷静力平衡法就是从平衡状态来研究杆件的屈曲特征，即研究直线形式之外的弯曲平衡形式。就是研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态，即求解弹性系统的平衡路径（曲线）的分支点所对应的载荷值

7、（临界载荷）。材料力学I中已经学习过了。压杆的临界载荷对于弹性系统可以沿用刚体平衡稳定性的能量判据。当压杆收到微小干扰后。观察其能量变化情况。随着杆件的弯曲变形，应变能的增量为U，同时载荷下降，位能的增量为V（注意：由于位能实际上是减少的，所以V为负值），则总势能的增量为ΔΠ=U+V。当载荷P低于某特定数值时，ΔΠ总为正定，即ΔΠ>0，则压杆的直线平衡形式是稳定的。压杆的临界载荷当载荷增大超过一定数值后，ΔΠ转为负定，即ΔΠ<0，则系统的直线平衡形式是不稳定的。当载荷达到临界值Pcr时，施加微小干扰而总势能不变化，即ΔΠ=0，此时压杆处于随遇平衡，即原来的直

8、线平衡将由稳定过渡到不稳定，此时处于临界状态。能量法