材料力学13能量法

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1、前面讨论了求简单结构的位移：三角架——以切代弧梁——积分法（繁琐）、叠加法（不方便）在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移的方法叫能量法。局限性1、能量法：第十三章能量法能量法的特点1．解题简单、适用性广；2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题；（只讨论线弹性问题）3．可求解静定与超静定问题；工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。求位移的普遍方法功能原理物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其

2、它的能量损失。外力功W＝物体所储存的应变能Vε。2、应变能和功能原理应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能量称为弹性应变能，也称变形能。3、线弹性体（线弹性结构）（1）材料服从胡克定律。（2）变形微小，各力的作用互不影响。（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有刚体位移。即：位移是由变形引起。讨论对象：线弹性体。应用叠加原理的条件（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。1、拉压PlDl静载P加载过程中始终有外力功PDlPDl应变能xq(x)dxdxFN(x)FN(x)＋dFN(x)q(x)·dx

3、略去高阶微量，认为dx只承受FN(x)P=FN应变能密度（变形比能）P§13-2杆件变形能计算2、扭转加载过程中始终有外力功me应变能T=mel当扭矩随截面位置变化时me静载mel3、弯曲加载过程中始终有外力功mm应变能M=mm静载纯弯曲横力弯曲M=M(x)理论证明：剪力对变形的影响很小，剪切应变能远远小于弯曲应变能。P1P2应变能的特点：（2）应变能的数值恒为正值；（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能叠加。（1）基本变形的应变能通式：F-广义力泛指力或力偶矩；d-广义位移为线位移或角位移

4、；证明1）共同作用下：F1LF2L2）单独作用下：3）单独作用下：证毕。F1LF2（4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加载的次序无关；先施加P1再施加P2P1保持不变，作功为P1P2l1l2CABP2作功为总功为：AB又伸长先施加P2再施加P1AB又伸长P2保持不变，作功为P1作功为总功仍为上述表达式。（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)分析：求简支梁外力P作用点C的挠度。例labPCAB1)求反力2)弯矩方程AC段：CB段：(0≤x1≤a)解：直接利用功能原理求位移的实例3)由功能原理(0≤x2≤b)

5、结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。x1x2RARB利用能量法求解时，所列弯矩方程应便于求解。13-3应变能的普遍表达式基础知识线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。广义线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐次关系。比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的位移与该点的广义力成正比。即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。采用比例加载F1、F2、F3外力0比例01、2、3位移比例应变能只

6、取决于受力变形的最终状态，因此可采用便于计算的方式计算应变能。克拉贝依隆原理对于组合变形Fs(x)Fs(x)k是用来修正横力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数，它的数值和截面形状有关。矩形k=6/5；圆形k=10/9。对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解,换成若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力和剪力的影响。例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。解：变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原理计算变形F例题：悬臂梁在自由端

7、承受集中力F及集中力偶矩Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。LFMeAB解：⑴弯矩方程⑵变形能LFMeAB⑶当F和Me分别作用时⑷用普遍定理§13-4互等定理位移发生点荷载作用点F1F2F1F2F2F1功的互等定理:位移互等定理:即：F1力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2力在由F1力引起的位移上所作的功。即：F2引起的F1作用点沿F1方向的位移，等于同样大小的力F1引起的F2作用点沿F2方向的位移。(1)互等定理只适用于线弹性结构；说明：(2)互等定理中的力与位移应理解为广义力和相应的广义位移。则位移互等

8、定理中的相同大小的力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同，量纲对应。（3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.例：求图示简支梁C截面的挠度。F例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。F(a)FkAB123AB(b)例（a）中Fk=10KN时，1、2、3点的挠度分别为若（b）中1、2、3点作用荷载F1=50KN，F2=40K