材料力学12能量法

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1、12能量法112能量法12.1应变能与余能12.2卡氏定理12.3最小势能原理12.4瑞利-里兹法212.1应变能与余能一、应变能(a)轴向拉（压）杆1.线弹性体（1）基本变形形式利用应变能在数值上等于外力功W，可得3(b)扭转12.1应变能与余能4(c)弯曲纯弯曲横力弯曲12.1应变能与余能5可以把应变能统一写成式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。12.1应变能与余能6（2）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)—只产生弯曲转角小变形时不计FQ产生的应变能，N

2、(x)—只产生轴向线位移Mt(x)—只产生扭转角12.1应变能与余能7对于dx微段，N(x),Mt(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为12.1应变能与余能8因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。（1）轴向拉伸与压缩2.非线性弹性体应变能为（P－D曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s－e曲线和e轴之间的面积）12.1应变能与余能9①以上两式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。②因为，为非线性关系，上两式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的

3、函数关系进行积分。应变能密度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为切应变。注意：（2）扭转应变能12.1应变能与余能10式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V为体积。（3）梁应变能12.1应变能与余能11二、余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，其P－D和s－e关系如图b,c所示。（1）余功的定义为12.1应变能与余能12其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc和外力功W具有相同的量纲，且Wc为矩形OP1aD1的面积与曲面OaD1的面积（W）之差（图d）,故称Wc为余功。Wc只有几何图形上的意义，无

4、物理概念，即没有什么力作的功为Wc。PP1WcaWD1Do(d)12.1应变能与余能13余能密度为由上述，D=f(P),e=f(s)。所以Vc=f(P)为受力状态的函数。VcVeP1PDD1a(e)o（3）线弹性体（图e）U和Uc数值相等，但概念和计算方法不同，即U=f(D),Uc=f(P)。仿照,余能为（2）余能余能为12.1应变能与余能14ααBDεσ1P例1已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的σ-ε曲线如图所示。求：荷载P1作用下的余能Uc12.1应变能与余能15ααBDεσ1P解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。12

5、.1应变能与余能16由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此ααBD1P12.1应变能与余能1712.2卡氏定理图示梁的材料为非线性弹性体，Pi为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为为位移状态函数。1.卡氏第一定理18假设与第i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为（ddi不是由Pi产生的，Piddi为常力做的功）（a）(b)式中，为应变能对位移的变化率。12.2卡

6、氏定理19上式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。令12.2卡氏定理则202.卡氏第二定理图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。梁的余能为表明(1)余能定理12.2卡氏定理21令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。得设第i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是12.2卡氏

7、定理22(2)卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏第一定理余能定理di→di+ddi，其他位移均不变，所有的力均不变。Pi→Pi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。12.2卡氏定理23卡氏第一定理余能定理续表(平衡方程)（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体12.2卡氏定理24(3)卡氏第二定理当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把用力表示，即余能定理可以写成上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。UcP1Pdd1a(e)O12.2卡氏

8、定理25它