材料力学中的能量法

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1、§10–1杆件的应变能计算§10–2功的互等定理和位移互等定理§10–3卡氏定理§10–4虚功原理§10–5单位载荷法§10–6计算莫尔积分的图乘法第十章能量法利用与应变能概念相关的一些定理和原理，来解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，称为能量法（energymethod)能量法不计能量损耗，则根据功能原理有U=W§10.1杆件的应变能计算一、杆件(线弹性）在基本变形时的应变能1、轴向拉压杆的应变能计算：§10.2功的互等定理和位移互等定理2、圆轴扭转时的应变能3、梁弯曲时的应变能拉压扭转弯曲内力FNTM刚度EAGIPEI二、杆件在组合变形时的应变能小变

2、形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总应变能。即：如：结论1:应变能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。例如：求图示简支梁的应变能。FMABC解：x（1）求支反力，列弯矩方程：（2）求应变能：（1）、（2）式代入（3）式得：FMABC变形(a)式得FMABCFMABC先加M，再加F先加F，再加M结论2:杆件的应变能只与最终的载荷状态有关，而与加载次序无关。FMABCFMABC结论3:（功的互等定理）广义力F在由广义力M引起的、F方向上的位移上所做的功=广义力M在

3、由广义力F引起的、M方向上的位移上所做的功。如F=M，则上述两广义位移数值相等，即为位移互等定理。对线弹性体普遍适用。讨论：表6-1中序号3的wB推导(用功的互等定理）[例10-1-1]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？FaaABC例10-1-2如图所示桁架，杆CD的长度l为1m，已知节点B受铅垂向下的力F=1kN作用时，杆CD产生逆时针方向的转角=0.01rad。试确定为使节点B产生铅垂向下的线位移=0.0008m，在节点C及D两处应加多大的力。并说明加力方向。解：如图11-4b所示，

4、在点C及点D应加一对大小相等，方向相反，且均垂直于杆CD的力。根据功的互等定理：Ⅰ.虚位移原理（1）刚体虚位移——满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。§10-4、10-5虚位移原理及单位力法（2）可变形固体满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。——外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移——虚位移原理——外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝01.梁的虚位移原理图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷

5、载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，与梁上的荷载及其内力完全无关。虚位移可以是真实位移,也可以是与真实位移毫无关系的位移.(a)x实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力对于虚位移所作的总虚功为(a)(a)外力虚功(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功取梁的dx微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。由于梁的虚位移，使微段位移至图d所示位置。微段的虚位移可分为

6、两部分：一为刚性体位移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy二为变形虚位移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚

7、位移原理(11-14)，即(c)梁的内力虚功为(d)将(a),(d)式代入（11-14）式，得梁的虚位移原理表达式为得即外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力FS，轴力FN及扭矩T。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd*，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角dj*。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为(10-15)2.组合变形的虚位移原理由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，(11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M,FS,FN,T是由荷载产生的内力，为广义虚