分数阶Fourier域的采样及分辨率分析

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1、万方数据自．显科手连展第17卷第5期2007年5月分数阶Fourier域的采样及分辨率分析*邓兵1’2”陶然1杨曦11．北京理工大学电子工程系，jE京100081；2．海军航空工程学院电子信息工程系，烟台264001摘要分数阶Fourier变换是一种统一的时频变换工具，由于其具有的一个自由参量，能够为信号分析提供更多的选择．文中首先对分数阶Fourier域采样理论作了简单回顾，给出了更为简洁易懂的推导，在此基础上依据分数阶Fourier变换与Wigner分布的关系，推导了离散分数阶Fourier变换的分析范

2、围和分辨率．最后以chirp信号为例作了仿真说明，得到了一些有用的结论．关键词分数阶Fourier变换采样分辨率1980年Namias从特征值和特征函数的角度提出了分数阶Fourier变换(fractionalFouriertrans—form，FRFT)的概念[1]，用于微分方程求解．其后，McBride等用积分形式为分数阶Fourier变换作出了更为严格的数学定义[2]．但是直到1993年Almeida指出分数阶Fourier变换可以理解为时频平面的旋转[3]，1996年Ozaktas等提出了一种计算量

3、与FFT相当的离散算法后[4]，分数阶Fourier变换才真正吸引了信号处理领域科研人员的注意，其在信号处理中的潜力也不断得到挖掘[5_¨．分数阶Fourier变换是传统Fourier变换的广义形式，分数阶Fourier域同时包含着时域和频域信息(时域、频域是分数阶Fourier域的两种特例．Xia证明了不存在同时在两个不同阶数a，p的分数阶Fourier域都保持有限支撑的信号(口≠±口+扎7c，，z为整数)[1引．根据Xia的结论我们可以知道在某些条件下Shannon采样定理未必是高效的．例如：在适当的分

4、数阶Fourier域，宽带线性调频信号将高度聚集，而Shannon采样定理仍是以频域带宽来确定采样频率．因此，人们会问：这样确定的采样频率是否合适?随着对分数阶Fourier变换理论的进一步深入研究，关于分数阶Fourier域的采样定理至今已有2006—02—21收稿，2006—10-30收修改稿*国家自然科学基金资助项目(批准号：60232010，60572094)**Email：navy—dbing@tom．corn、多篇文献从不同角度进行了阐述‘13_151．但是遗憾的是，这些成果并没有清晰地描绘出其

5、全貌，反映在如下两点：(1)对分数阶Fourier域采样理论的推导不太利于理解和运用，且偏于数学公式，没有配合仿真来给出相应的解释；(2)仅仅停留在公式表达层面，而没有对分数阶Fourier域采样理论运用于实际情况而可能遇到的问题作出解答，也就不利于指导实际工程中的信号处理问题．因此，本文的目的是解决数字信号处理的实际应用问题，帮助读者从抽象的理论中建立起对分数阶Fourier变换更为直观的印象．1分数阶Fourier变换分数阶Fourier变换定义如下[3]r+o。S。(“)一F。[s](乱)一Is0)K

6、。(￡，甜)dt(1)J——o。其中a为变换阶数，K。(￡，“)为变换核．⋯，一乎兰二茹托万方数据自’鞋科乎建展第17卷第5期2007年5月从对信号的时频表示来看，分数阶Fourier变换是对时频平面的旋转[16

7、．也就是说，信号S的a阶分数阶Fourier谱密度等于角度a的Radon-Wigner变换(如图1所示)．因此，只有信号的Wigner分布为圆形支撑且关于圆心对称，才能保证各阶分数阶Fourier谱支撑区宽度是相等的，否则必然存在某阶分数阶Fourier域能够实现对信号的更好聚集．如果只考虑低通采

8、样情况，那么信号的Wigner分布还需要进一步关于原点对称，才能保证传统的Shannon采样定理对各阶分数阶Fourier域都是最合适的，否则当实现对信号最佳聚集的分数阶Fourier域不是频域(a=n／2)时，那么以低于Nyguist采样率来采样而不造成信号失真就存在可能了．图1信号s的分数阶Fourier变换与Radon-Wigner变换的关系既然分数阶Fourier变换以2兀为周期，不妨将a取值区间设为[一丌，Ⅱ]．本文不考虑a一0，Ⅱ，一兀的特殊情况，从分析信号的分数阶Fourier谱是否混叠的角度

9、，不失一般性，可以假定变换阶数a∈(0，兀)，即：sing>0．2采样定理本节将从连续信号与采样冲激串的乘积形式出发，得到采样信号的分数阶Fourier谱表达式，再通过分数阶Fourier域的低通滤波来恢复原信号，得到重构公式，两者便构成了完整的分数阶Fourier域带限信号的低通采样定理．设理想采样信号为z。(f)一z(f)P。(f)一T(f)∑8(t—nT，)(3)式中艿(≠)表示单位冲激．利用分数阶Four