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1、万方数据自.显科手连展第17卷第5期2007年5月分数阶Fourier域的采样及分辨率分析*邓兵1’2”陶然1杨曦11.北京理工大学电子工程系,jE京100081;2.海军航空工程学院电子信息工程系,烟台264001摘要分数阶Fourier变换是一种统一的时频变换工具,由于其具有的一个自由参量,能够为信号分析提供更多的选择.文中首先对分数阶Fourier域采样理论作了简单回顾,给出了更为简洁易懂的推导,在此基础上依据分数阶Fourier变换与Wigner分布的关系,推导了离散分数阶Fourier变换的分析范
2、围和分辨率.最后以chirp信号为例作了仿真说明,得到了一些有用的结论.关键词分数阶Fourier变换采样分辨率1980年Namias从特征值和特征函数的角度提出了分数阶Fourier变换(fractionalFouriertrans—form,FRFT)的概念[1],用于微分方程求解.其后,McBride等用积分形式为分数阶Fourier变换作出了更为严格的数学定义[2].但是直到1993年Almeida指出分数阶Fourier变换可以理解为时频平面的旋转[3],1996年Ozaktas等提出了一种计算量
3、与FFT相当的离散算法后[4],分数阶Fourier变换才真正吸引了信号处理领域科研人员的注意,其在信号处理中的潜力也不断得到挖掘[5_¨.分数阶Fourier变换是传统Fourier变换的广义形式,分数阶Fourier域同时包含着时域和频域信息(时域、频域是分数阶Fourier域的两种特例.Xia证明了不存在同时在两个不同阶数a,p的分数阶Fourier域都保持有限支撑的信号(口≠±口+扎7c,,z为整数)[1引.根据Xia的结论我们可以知道在某些条件下Shannon采样定理未必是高效的.例如:在适当的分
4、数阶Fourier域,宽带线性调频信号将高度聚集,而Shannon采样定理仍是以频域带宽来确定采样频率.因此,人们会问:这样确定的采样频率是否合适?随着对分数阶Fourier变换理论的进一步深入研究,关于分数阶Fourier域的采样定理至今已有2006—02—21收稿,2006—10-30收修改稿*国家自然科学基金资助项目(批准号:60232010,60572094)**Email:navy—dbing@tom.corn、多篇文献从不同角度进行了阐述‘13_151.但是遗憾的是,这些成果并没有清晰地描绘出其
5、全貌,反映在如下两点:(1)对分数阶Fourier域采样理论的推导不太利于理解和运用,且偏于数学公式,没有配合仿真来给出相应的解释;(2)仅仅停留在公式表达层面,而没有对分数阶Fourier域采样理论运用于实际情况而可能遇到的问题作出解答,也就不利于指导实际工程中的信号处理问题.因此,本文的目的是解决数字信号处理的实际应用问题,帮助读者从抽象的理论中建立起对分数阶Fourier变换更为直观的印象.1分数阶Fourier变换分数阶Fourier变换定义如下[3]r+o。S。(“)一F。[s](乱)一Is0)K
6、。(£,甜)dt(1)J——o。其中a为变换阶数,K。(£,“)为变换核.⋯,一乎兰二茹托万方数据自’鞋科乎建展第17卷第5期2007年5月从对信号的时频表示来看,分数阶Fourier变换是对时频平面的旋转[16
7、.也就是说,信号S的a阶分数阶Fourier谱密度等于角度a的Radon-Wigner变换(如图1所示).因此,只有信号的Wigner分布为圆形支撑且关于圆心对称,才能保证各阶分数阶Fourier谱支撑区宽度是相等的,否则必然存在某阶分数阶Fourier域能够实现对信号的更好聚集.如果只考虑低通采
8、样情况,那么信号的Wigner分布还需要进一步关于原点对称,才能保证传统的Shannon采样定理对各阶分数阶Fourier域都是最合适的,否则当实现对信号最佳聚集的分数阶Fourier域不是频域(a=n/2)时,那么以低于Nyguist采样率来采样而不造成信号失真就存在可能了.图1信号s的分数阶Fourier变换与Radon-Wigner变换的关系既然分数阶Fourier变换以2兀为周期,不妨将a取值区间设为[一丌,Ⅱ].本文不考虑a一0,Ⅱ,一兀的特殊情况,从分析信号的分数阶Fourier谱是否混叠的角度
9、,不失一般性,可以假定变换阶数a∈(0,兀),即:sing>0.2采样定理本节将从连续信号与采样冲激串的乘积形式出发,得到采样信号的分数阶Fourier谱表达式,再通过分数阶Fourier域的低通滤波来恢复原信号,得到重构公式,两者便构成了完整的分数阶Fourier域带限信号的低通采样定理.设理想采样信号为z。(f)一z(f)P。(f)一T(f)∑8(t—nT,)(3)式中艿(≠)表示单位冲激.利用分数阶Four
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