数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想

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1、几何---类比与猜想、想象与操作姓名：日期：第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（八）【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。3、面临两个个体，其中一个性质清楚，另一个有待认识，于是对这两个对象进行比较，通过两个个体中若干相同或相似之处，类比猜想这两个人个体在其它方面的相同或相似，实现对另一个对象的合情判断同步练习1.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽

2、约，全程350公里，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？【参考答案】小鸟飞行时间与两辆车的相遇时间相同，即：350÷（15＋20）=10（小时），则小鸟飞行了10×30=300（千米）。2.如果2元钱一瓶汽水，喝完后五个空瓶换一瓶汽水，问：你有40元钱，最多可以喝到几瓶汽水？【参考答案】8元钱可以买4瓶却能喝5瓶，则40÷8=5，5×5=25（瓶）。3.在一块正方形纸上剪下一个宽为0.5分米的

3、长方形纸条，剩下的面积为平方分米，剪下的长方形纸条的面积是__________平方分米。21教育名师原创作品【参考答案】此题用弦图来解：如图，设原正方形的边长为a,则剪下一个长方形纸条后剩下部分的长为a，宽为（a－0.5），那么，图中存在这样一个关系：（2a－0.5）2＝0.52，则a＝，那么剪下的长方形纸条的面积S＝×0.5＝＝1（dm2）21*cnjy*com4.一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着1～2013这2013个自然数，从纸箱中任意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作

4、后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？【参考答案】每次操作都不改变纸箱中所有数之和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于1～2013的和除以100的余数。（1＋2＋…+2012＋2013）÷100＝2027091÷100＝20270……91，所以这张卡片上的数是91.5.国庆期间，某酒店在大厦的外墙周围安装了2013个霓虹灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这2013个灯泡按1～2013编号，它们的明暗规则是：第一秒，全部灯泡变明；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由明变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，即暗的变明，明的变暗；……同

5、样，第n秒凡是编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态。这样继续下去，到第2013秒时，还有多少个灯泡是明的？【参考答案】某个灯泡，如果它的明暗变化的次数为奇数，那么它是亮的。根据题意可知，号码为N的灯泡，明暗变化的次数等于N的因数的个数，而如果N的因数的个数是奇数，则N一定是平方数。所以第2013秒时，那些编号是平方数的灯泡是亮的。因为12，22，32，…，442＝1936﹤2013﹤452＝2025，所以第2013秒时，还有44个灯泡是明的。6.如图，梯形ABCD的对角线MC、BD相交于点O，已知AB＝10cm，CD＝6cm，梯形ABCD的面积为24cm2，那么三

6、角形BOC的面积是多少？【参考答案】∵AB﹕CD＝OB﹕OD＝10﹕6＝5﹕3，∴S△ABD﹕S△BDC＝S△BOC﹕S△DOC＝5﹕3，∴S△BDC＝24×＝9（cm2）,S△BOC＝9×＝（cm2）。7.从一个长、宽、高恰好是三个连续自然数的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和为72厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？21·cn·jy·com【参考答案】如图，长方体截去一个最大的正方体后，棱长增加2个高，那么根据棱长和公式，4（a＋b＋h）＋2h=72，得2a＋2b＋3h=36，又由于长、宽、高是三个连续自然数的和，解得a=4，b=5，h=6，所以

7、长方体的体积＝4×5×6＝120（立方厘米）。21教育网7.将一块正方形的纸片裁成面积相等的四块，写出八种裁法（用图形表示）。提示：题目的要求是“裁成面积相等的四块”，因此，所提供的解法必须具有可操作性。【参考答案】8.能否把一个正方形分割成个等腰直角三角形，其中任意两个三角形都不相同？（经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角形）【参考答案】9.已知是等腰三角形,过的一个顶点的一条直线,把分成两个小三角形,如果这两个小三角形也是等腰三角形,试求出各内角的度数.【参考答案】（1）900,450,450；（2）1080，360，360；（3）360，720，