第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(二)代数--实验与猜想含答案试卷分析详解

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1、第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（二）代数---实验与猜想【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。3、对一个群体，由于数量之众，人们无法对其直接做整体的判断，于是观察其若干个体，从其个体中的共性推测整体的性质。同步练习1、三角形无对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线。请问：六边形有多少条

2、对角线？十六边形有多少条对角线？【参考答案】以五边形为例，从一个顶点可以引出两条对角线，因为自己不和自己连，和自己相邻的两个顶角也不连，所以是两条，一共有五个角，所以一共是5×2=10条，又因为从A到C，从C到A，是同一条，而我们算了两次，所以整个图形都是重复了一半，所以要除以2，任意多边形都是这样，所以多边形对角线的条数公式是，当n=6时，=（条）；当n=16时，=（条）。2．我们知道在十进制加法中，逢十进一，如9+8=17，也可写成；在四进制加法中，逢四进一，如,那么在进制中有等式，则.【【参考答

3、案】63.自然数的平方按从小到大排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置上的数字是几？【参考答案】1到3的平方是一位数，占去3个位置；4到9的平方是两位数，占去12个位置；10到31的平方是三位数，占去66个位置；32到99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，共占去353个位置，从612减去353，还有259个位置。从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字。因为259=51×5+4，即从100到150，共51

4、个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而151×151=22801，它的第四个数字是0，所以612个位置的数字是0.ABCP1P2P0P34.某同学做跳棋游戏，如图所示，为,.如果跳棋开始在BC边上的点，,第一步跳棋跳到AC边上点，且；第二步从跳到AB边上点，且；第三步跳棋从跳回到BC边上点，且；……；跳棋按上述规则跳下去，第2013次落点为，请计算与之间的距离。【参考答案】BP0=4，CP1=6，AP2=3，BP3=5，CP4=5，AP5=4，BP6=4，则2013÷6=335……3，所以

5、，BP2013=5则P0与P2013之间的距离=5－4=1.5.有一列数1,1,2,3,5,8,13，……（从第三个数开始，每个数恰好是它前面相邻两个数之和），这列数的第2013个数被3除的余数是多少？【参考答案】被3除的余数规律为：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、……周期为8，则2013÷8=251……5，则余数为2.056342118796.一个人从中央（标0）的位置出发，向东、北各走1千米，再向西、南各走2千米，再向东、北各走3千米，再向西、南各走4千米，……，如此继续下去。他每走1

6、千米，就把所走的路程累计数标出，当他走到距中央正东100千米处时，共走了多少千米？【参考答案】观察右下角拐弯处的数：第一个：1=12=（2×1-1）2；第二个：9=32=（2×2-1）2；第三个：25=52=（2×3－1）2；……，第n个拐弯处的数：（2n-1）2，所以第100个拐弯处的数是（2×100-1）2，再向北走99千米，即为中央正东100千米处，一共走了（2×100-1）2＋99=39700（千米）。7.数列1，1991，1990，1，1989，1988，1，……从第三个数起，每个数是前两个

7、数的差，这个数列中第一个零出现在第项。【参考答案】数列再写下去：1，1991，1990，1，1989，1988，1，……，1，3，2，1，1，0，每三个数为一组，每组从第一个数都是1，从1991到0共有（1991+1）÷2=996（组），第一次出现0是第996组的最后一个数，即第996×3=2998（项）。8.把1到1997这1997个数，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1开始按顺时针方向，保留1，擦去2，保留3，擦去4……（每隔一数，擦去一数），转圈擦下去，最后剩下的是哪个数？【参考答案】如果只

8、有1，2，留下1；如果只有1，2，3，4，留下1；如果只有1，2，3，4，5，6，7，8，留下1；如果只有1，2，3，4，5，…，15，16，留下1；……如果个数是2n个时，留下的数一定是第一个数1。由于210=1024＜1997＜211=2048，1997－1024=973，就是说要剩下1024个数就要先擦去973个数，按题意，每两个数擦去一个数，应当擦到第973个数时，最后剩下的数是1024个，这时最后擦去的数应是973×2=1946，后面1024个