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时间:2018-07-30
《竞赛讲座18类比、归纳、猜想》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、竞赛专题讲座18-类比、归纳、猜想数学解题与数学发现一样,通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上,获得对有关问题的结论或解决方法的猜想,然后再设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.所谓类比,就是由两个对象的某些相同或相似的性质,推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理,因此,要确认其猜想的正确性,还须经过严格的逻辑论证.运用类比法解决问题,其基本过程可用框图表示如下: 可见,运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个
2、类型. (1)降维类比将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.【例1】如图,过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA,OB1∥VB,OC1∥VC,A1,B1,C1分别是所作直线与侧面交点. 求证:++为定值.分析考虑平面上的类似命题:“过△ABC(底)边AB上任一点O分别作OA1∥AC,OB1∥BC,分别交BC、AC于A1、B1,求证+为定值”.这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1.另外,过A、O分别作BC垂线,过B、O分别作AC垂线,则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间围形,也可用两种方法 证明其定
3、值为1.证明:如图,设平面OA1VA∩BC=M,平面OB1VB∩AC=N,平面OC1VC∩AB=L,则有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1∽△LCV.得++=++。在底面△ABC中,由于AM、BN、CL交于一点O,用面积法易证得:++=1。∴++=1。【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球,S是所作六个球的交集.证明S中没有一对点的距离大于.【分析】考虑平面上的类比命题:“边长为1的正三角形,以各边为直径作圆,S‘是所作三个圆的交集”,通过探索S’的类似性质,以寻求本题的论证思路.如图,易知S‘包含于以正三角形重心为圆心,以为半径的圆内.
4、因此S’内任意两点的距离不大于.以此方法即可获得解本题的思路.证明:如图,正四面体ABCD中,M、N分别为BC、AD的中点,G为△BCD的中心,MN∩AG=O.显然O是正四面体ABCD的中心.易知OG=·AG=,并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于,其球O必包含S.现证明如下.根据对称性,不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点,且P不在球O内,现证P亦不在S内.若球O交OC于T点。△TON中,ON=,OT=,cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。由余弦定理:TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=,∴TN=。又
5、在Rt△AGD中,N是AD的中点,∴GN=。由GN=NT=,OG=OT,ON=ON,得△GON≌△TON。∴∠TON=∠GON,且均为钝角.于是显然在△GOC内,不属于球O的任何点P,均有∠PON>∠TON,即有PN>TN=,P点在N为球心,AD为直径的球外,P点不属于区域S.由此可见,球O包含六个球的交集S,即S中不存在两点,使其距离大于.(2)结构类比某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后可通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.【例3】任给7个实数xk(k=1,2,…,7).证明其中有两个数xi,xj,满
6、足不等式0≤≤·【分析】若任给7个实数中有某两个相等,结论显然成立.若7个实数互不相等,则难以下手.但仔细观察可发现:与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换:xk=tgαk(k=l,2,…,7),证明必存在αi,αj,满足不等式0≤tg(αi-αj)≤·证明:令xk=tgαk(k=l,2,…,7),αk∈(-,),则原命题转化为:证明存在两个实数αi,αj∈(-,),满足0≤tg(αi-αj)≤·由抽屉原则知,αk中必有4个在[0,)中或在(-,0)中,不妨设有4个在[0,)中.注意到tg0=0,tg=,
7、而在[0,)内,tgx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<αi-αj<即可。为此将[0,)分成三个小区间:[0,]、(,]、(,)。又由抽屉原则知,4个αk中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>αj,则0≤αi-αj≤,故0≤tg(αi-αj)≤·这样,与相应的xi=tgαi、xj=tgαj,便有0≤≤·(3)简化类比 简化类比,就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题,通过类比命题解决思路和方法的启发,寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题,高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等. 【例4】已知xi≥0(i=
8、1,2,…
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