竞赛讲座18类比、归纳、猜想67824

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1、18类比、归纳、猜想数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后冉设法证明或否定猜想,进而达到解决问题的冃的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证.运用类比法解决问题，其基木过程可用框图表示如下：求证:为定值.可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对彖.按寻找类比对彖的角度

2、不同，类比法常分为以下三个类型.（1）降维类比将三维空间的对象降到二维（或一维）空间屮的对象，此种类比方法即为降维类比.【例1】如图，过四面体v-ABC的底面上任一点0分别作OA1〃VA,OBi〃VB,OG〃VC,A.,BhCl分别是所作直线与侧面交点.分析考虑平面上的类似命题：“过AABC（底）边AB上任一点0分别作OAiZ/AC,0B1//BC,分别交BC、AC于OB[A..Bh求证疋+说为定值”.这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1・另外，过A、0分別作BC垂线，过B、0分別作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是

3、类比到空间围形，也町用两种方法证明其定值为1.证明：如图,在底面AABC中,由于AM、BN、CL交于一点0,用面积法易证得:设平面OAiVAPBC=M,平面OBiVBAAC=N,平面0C】VCQAB二L,则△LOGs'LCV.得OMONQLOKtOBtPC,.VB+VC=i【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集.证明S中没冇一对点的距离大于京【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的止三角形，以各边为直径作圆，S，是所作三个圆的交集”，通过探索S'的类似性质，以寻求本题的论证思路.如图，因此V内任意两点易知S

4、'包含于以正三角形重心为圆心，以6为半径的圆内.遇的距离不大丁•3・以此方法即可获得解本题的思路.G为ABCD的中心,2^6证明：如图，正川面体ABCD中，M、N分別为BC、AD的中点,2MNAAG=0.显然0是正四面体ABCD的屮心.易知0G二=.AG=,并R可以推得以（）为球心、0G为半径的球内任意两点间的距离不大于衣，其球0必包含S.现证明如下.根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球0内，现证P亦不在S内.返丄0M若球0交0C于T点。ATON中，ON二4,ot二洛，cosZT0N二co

5、s(n-ZT0M)二-8。由余弦定理:0M11ATN=上。TN2=ON2+OT2+2ON•0T•0C二r,_!丄又在RtAAGD屮，N是AD的中点，AGN=-o由GN二NT=二，（）G=（）T,ON=ON,得AGON竺△TON。AZT0N=ZG0N,且均为钝角.1于是显然在AGOC内，不属于球0的任何点P,均有ZP0N>ZT0N,即有PN>TN二二，P点在N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S.丄由此可见，球0包含六个球的交集S,即S屮不存在两点，使其距离大于下.（2）结构类比某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结

6、构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.【例3】任给7个实数九（k二1,2,…，7）・证明其中有两个数Xi,Xj,满足不等■1-勺I式ow"■円W萋•【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立.若7个实数互不相等，则难以下手.但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换：xk=tgak(k=1,2,…，7),证明必存在aQj,满足不等式0WtgOi-ajW靠证明：令Xk=tgak(k=L2,•••,7),akG(-2,

7、2),则原命题转化为：证明存在两个实数a”ajG(-2,2),满足0Wtg(ai-aJw历•x由抽屉原则知，Qk中必冇4个在［0,2)中或在(-2,0)中，不妨设冇4个在兰2?—［0,2)中.注意到tg0=0,tg6=^,而在［0,2)内，tgx是增函数，故只需证明存在ai,aj,x*使0aj,则OWa厂ajW6,故OWtg(ai-aJ冬締•这样，与相应的X

8、i二tgai、Xj二tgaj,便冇0^•(3)简化类比简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题，高次