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1、浅谈类比与猜想當二数学钟建新所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证.运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：类比问題I类比问题於解頑"I可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型.（1）降维类比将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比.【例1】如图,过四面体V-AB
2、C的底面上任一点0分别作OA.//VA,OB】〃VB,OG〃VC,Ai,Bi,Ci分别是所作直线与侧面交点.OAtOBtoq求证：VA+VB+VC为定值.分析考虑平面上的类似命题：“过AABC（底）边AB上任一点0分OAt0B,别作0Ai#AC,OB0BC,分别交BC、AC于人、B.,求证AC+BC为定值”・这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1.另外,过A、0分别作BC垂线，过B、0分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1・于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1.证明:如图,设平面
3、OAiVAABC=M,平面OBiVBAAC=N,平面OGVCAAB=L,则冇△MOAi^AMAV,ANOB^ANBV,ALOCiALCV.得VA+VB+VC=AM+BN+AABC中,由于AM、BN、CL交于一点0,用OLO在底面A面积法易证得:OMONOLOA^週竺AM+BN+0^=i0Va7+VC=lo【例2］以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集.证明S屮没有一对点的距离人于衣.【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S'是所作三个圆的交集”，通过探索
4、S，的类似性质，以寻求木题的论证思路.如图，易知S'包含于以正三角形重心为圆心，以6为半径的圆內•内此V内任意两点的距离不大于3.以此方法即可获得解木题的思路.AD的屮点，G为ABCD的屮心，MNAAG•AG=2聚,并且可以推得以0为球心、证明：如图，正四而体ABCD屮，M、N分别为BC、1=0.显然0是正四面体ABCD的中心.易知0G二“0G为半径的球内任意两点间的距离不大于占，其球0必包含S.现证明如下.根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG.设P为四面体OMCG内任一点，JLP不在球0返_L内，
5、现证P亦不在S内.若球0交0(：于'1'点。△TON中，0N=4,0T二2&,OMOM11cosZTON二cos(ji-ZT0M)=-8。由余弦定理：TN=0N2+0T2+20N-0T-8,,・・.TN二2。2J乂在RtAAGD屮，N是AD的中点，Z.GN=】。由GWNT=2,OG=()T,ON=ON,得AGON^ATONoAZT0N=ZG0N,H均为钝角.于是显然在AGOC内，不属于球0的任何点P,均冇ZPON>ZTON,即冇PN>TN二二，P点在N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S.由此可见，
6、球0包含六个球的交集S,即S中不存在两点，使其距离大于衣.(2)结构类比某些待解决的问题没冇现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.【例3】任给7个实数九(21,2,…，7)•证明其屮有两个数Xi,“满足不等式0W"■旳【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立.若7个实数互不和等，则难以下于.但仔细观察可发现:1+*1<1与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换：x
7、k=tgak(k=1,2,…，7),证明必存在3,aj,满足不等式0Wtg(ai-aJW少•证明：令xk=tgak(k=1,2,…，7),(-2,2),则原命题转化为：证明存在n%i两个实数Qi，ajE(-2,2),满足OWtg(ai-aj)w击•7171真由抽屉原则知，Qk屮必有4个在［0,㊁)屮或在(-2,0)中，不妨设有4个在［0,2)n丄中.注意到tg0=0,=而在［0,2)内，tgx是增函数，故只需证明存在Qi,Qj,真knx2x使08、］、(6,S］、2kx(6,2)o又ft]抽屉原则知，4个ak中至少冇2个比如Qi,aj同属于某一区间，不妨设ai>a力则0Wa厂ajW6，故OWtg(a厂aJW如•这样，与和应的Xi=tgai、Xj二tgaj,勺I便有owiWbw石•(2)简化类比简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题
