第21讲 类比与猜想

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1、让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!第21讲类比与猜想每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。——康德知识方法扫描传说木工用的锯子是鲁班发明的，有一天他到山上去，手指突然被一根丝毛草划了一下，划破了一道口子。他想一根小草怎么会这样厉害呢？鲁班仔细一看，发现草叶子的边缘生着许多锋利小齿。鲁班立即想到，如果照着丝毛草叶子的模样，用铁片打制一把带利齿的工具，用它在树上来回拉，不就可以很快地将树割断吗？回去后他马上打了一把这样的工具，这就是锯子。聪明的鲁班在这里所使

2、用的推理方法称为类比（analogy）。类比是根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处，如根据带齿的草叶与带齿的铁片结构相似，由前者能划破手指，推出后者能割断树木。这种仿照生物机制的类比，到了近代，便发展成了一门新兴的学科，即所谓近代仿生学，例如，潜水艇的设计思想来自鱼类在水中浮沉之生物机制的类比。类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上的相似。在文学艺术与科学研究中都充满了类比。类比用得好，在文学作品中可使文章大为生色，在科学研究中可引出新的发现。“问君

3、能有几多愁，恰似一江春水向东流”（李煜）用的就是类比。医药试验不宜直接在人体上进行。老鼠、猴子与人在身体结构上具有类似之处，于是，有理由相信，在这些动物身上的试验结果类似于在人体上试验的结果。代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推出分式具有分数相似的性质，分式可以如分数一样进行化简和运算，这就是类比。我们在学习立体几何时常常可以类比平面几何，将在平面几何中成立的结论进行推广，得到许多类似的结论。例如，长方形和长方体的类比，如图23-1所示。图23-1长方形的每一边恰与另一边平行，而

4、与其余的边垂直。长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直。这两种几何图形间可以建立类比关系。请填写下表：长方形长方体每相邻两边互相垂直每相邻两棱互相垂直每相邻两面互相垂直对边互相垂直对棱互相平行124走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!对边长度相等对棱互相相等两条对角线相等两条对角线相等对角线互相平分对角线互相平分对角线的平方等于长和宽的平方和对角线的平方等于长、宽、高的平方和面积等于两邻边的乘积S＝ab体积等

5、于长、宽、高的乘积V＝abc类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果。运用类比推理的一般步骤为：首先，找出两类比对象之间可以确切表述的相似性；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出猜想；最后，检验猜想。类比是数学发现与数学解题的重要手段之一，著名哲学家康德曾指出：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。”在数学中，常可以由命题的条件相似，去猜想结论的相似；由命题的形式相似，去猜想论证推理方法的相似。运用类比方

6、法求解数学问题的关键是善于引进“辅助问题”，通过与“辅助问题”的类比，形成猜想，发现解题思路，预见可能答案，从而解决面临的问题。经典例题解析1高维与低维的类比我们通常把直线叫做一维空间，平面叫做二维空间，立体几何中所说的“空间”叫做三维空间，除此之外，“维数”还泛指未知数的个数、变量的个数、方程或不等式的次数等。当我们研究一个维数较高的问题时，先考查并解决一个与它类似而维数较低的问题，然后将解决后者时所用的方法或所得的结果试用于解决原来的维数较高的问题，这就是高维与低维类比的手法。这种手法通常称为降维

7、。例1试推导一元n次方程根与系数的关系。分析让我们首先利用待定系数法推导一元二次方程根与系数的关系。设的两个根是，则有。将右端展开，比较同次项系数得。由此启发我们用类似的方法推导一元n次方程根与系数的关系。解设次多项式124走进奥数,成就辉煌—皇甫学校培优竞赛教程(李敬之个人竞赛空间)让我们为全力打造甘肃名校—甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!(1)的个根为，则有.将上式右端展开、整理，并比较等式两边同次项次数得：这就是次多项式的根与系数的关系定理（韦达定理），评注我们通过一元n次方程与一元二次方程的

8、类比，导出一元n次方程根与系数的关系。这是高次与低次类比解决问题的范例．韦达定理在多项式理论中有广泛的应用，且常常应用于相应的次方程的根与系数的讨论．注意，韦达定理的逆定理也是成立的，即若数满足上述方程组，则它们是多项式（1）的根．例2设为三个互不相等的实数，且①求证：。分析直接解方程组①，三个未知数两个方程，要求出的值走不通。注意到题中有轮换的特点，暂时简化命题减少一元，把原命题变为：设为互不相等的实数，且，求证：。简化后的命题比原命题简单得多。为了找