数电第二章逻辑代数基础

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1、第二章逻辑代数基础内容提要本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续课程打下基础。本章的内容2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简2.1概述在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的

2、起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算，最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算）2.1.1二值逻辑和逻辑运算数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。2.1.2数字电路的特

3、点及描述工具逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（GeorgeBoole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。注意：1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的

4、两种逻辑状态。2.2逻辑代数中的三种基本运算在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。2.2.1与运算与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。如图2.2.1所示电路，两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例，只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。设开关闭合用“1”表示，断开用“0”表示；灯亮用“1”表示，灯灭用“0”表示（逻辑赋值），则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表从表中可知，其逻辑规律服从“有0出0，全1才出1”这种与逻辑可以写成下面的表

5、达式：称为与逻辑式，这种运算称为与运算也可以用图2.2.2表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。2.2.2或运算或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为如图2.2.3所示电路，两个并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例，只要开关A、B有一个闭合时灯就会亮。用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.2所示，其逻辑规律服从“有1出1，全0才出0”其逻辑式为上式说明：当逻辑变量A、B有一个为1时，逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0

6、，Y才为0。其逻辑门符号如图2.2.4所示，实现或逻辑运算的门电路称为或门。若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为3.非逻辑运算条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反如图2.2.5所示电路，一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例，当开关A闭合时灯就会不亮。非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.3所示注：上式也可写成其逻辑门符号如图2.2.6所示，实现非逻辑运算的门电路称为非门以上为最基本的三种逻辑运算

7、，除此之外，还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算4.与非（NAND）逻辑运算与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为：其真值表如表2.2.4所示其逻辑规律服从“有0出1，全1才出0”实现与非运算用与非门电路来实现，如图2.2.7所示5.或非（NOR）运算或非运算是先或运算后非运算的组合。以二变量A、B为例，布尔代数表达式为：或非逻辑规律服从有“1”出“0”全“0”出“1”或非运算用或非门电路来实现，如图2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为

8、：上式说明：当输入变量A、B同时为1或C、D同时为1时，输出Y才等于0。与或非运算是先或运算后非运算的组合。在工程应用中，与或非运算由与或非门电路来实现，其真值表见书P22表2.