矩阵与行列式_王启明

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1、矩阵与行列式习题课王启明一、行列式及其计算1.二、三阶行列式的计算对二、三阶行列式，可使用行列式的展开式（即对角线法则）直接计算：例解方程左端2.n阶行列式的典型计算方法（n大于等于4）方法一：降阶法例解例计算行列式：方法二：三角形法例解：原式=方法三：加边法。上例另一种解法解：原式=方法四：求和法。例解提取第一列的公因子，得方法五　递推法例证明证明：按第一列展开，得Dn=xDn-1+an得得例求行列式解方法六　用数学归纳法例证明证对阶数n用数学归纳法二、矩阵复杂运算与秩矩阵的行列式运算逆矩阵的相关求解、证明矩阵方程矩阵的分

2、块运算初等矩阵与秩计算例:设求的行列式。1、矩阵的行列式运算解：解例:解例:2.逆矩阵的相关求解、证明例:求A的逆矩阵．解：注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．例:解：例设行列式求第一行各元素的代数余子式之和解：3.矩阵方程例:解矩阵方程其中均为可逆矩阵。注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程解例解：解例4.矩阵的分块运算例：设n阶矩阵A及s阶

3、矩阵B都可逆，求解：设所求逆矩阵为则例：设4阶方阵其中均为4维列向量，且已知行列式求行列式分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求解：求及例解设5.初等矩阵和秩计算例则必有[C]．(A)AP1P2=B;(B)AP2P1=B;(C)P1P2A=B;(D)P2P1A=B.例设A为n阶方阵，且A3=2E，B=A2+A+E，求R(B)．解在B=A2+A+E的两边左乘A，得AB=A3+A2+A,将A3=2E，B=A2+A+E代入上式，得AB=2E+A2+AAB=B+E,即(A－E)B=E,所以B可逆，故R(B)=n．例解：“左行右列规则

4、”左乘，交换第1行和第3行10次右乘，交换第1列和第3列11次例证明：