用活勾股定理

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1、用活勾股定理江西万安县枫林中学廖志辉诸如“在直角三角形中，已知两边，求另外一边”的问题，学生早已烂熟于心，然而，在两个或多个直角三角形中，应用勾股定理解题，学生又感到极为辣手，为此，笔者在茶余饭后，对以下问题作了些探究，以期抛砖引玉。一、证明勾股定理的逆定理北师大版八年级下册课本，对勾股定理的逆定理的证明，只是留给学生自己验证，许多资料给出的证明，大多是置条件：“a2+b2=c2”而不顾，因此推理欠严谨，纯属循环论证。面对初二学生，我们既不能用高深的理论，也很难用上全等三角形的方法予以证明，那么究竟采用什么方法？勾股定理！如图，在△ABC中，若三个内角∠

2、A、∠B、∠C对应的三边分别为a、b、c，且a2+b2=c2，求证：∠C=90°证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，BD=y则在直角三角形ADC中，AD2=b2-x2在直角三角形ADB中，AD2=c2-y2C于是b2-x2=c2-y2D结合c2-b2=a2AB可得y-x=a①而y+x=a②解①、②可得x=0,y=a这意味着什么？D与C重合！所以AC⊥BC，即∠C=90°二、用于几何证明众所周知，用代数的方法解决几何问题，是解析几何的范畴，我们用勾股定理把三边关系框定，仍类似于解析几何之法，用起来还挺方便。例如图：E为正方形ABCD的BC边上一

3、点，∠DCG=45°，GF⊥BC，垂足为F，连接AE，并在CG上取一点G，使EG=AE，求证AE⊥EG[解析]常规的证明思路是作辅助线，如连接AC，并延长AC至M，使CM=CG，连接EM，可以想象，没有几个学生会这样作答，倘使我们运用勾股定理，则省去了作辅助线之麻烦，请看：设CF=GF=m，EC=x，BC=a则在直角三角形EGF中，(m+x)2+m2=EG2AD在直角三角形ABE中，a2+(a-x)2=AE2又由EG=AE得Gm2+2mx+x2+m2=a2+a2-2ax+x2化简得：m+x=aBECF即EF=AB，所以直角△ABE≌直角△EFG由此易证∠

4、AEG=90°三、用于探求未知世界问题的提出：在三角形中，是否存在三边为连续整数，且面积也为整数？显然存在，如边长为3、4、5，还有吗？笔者探究了边长在200以内的三角形，有且仅有4个，即（3、4、5），（13、14、15），（51、52、53），（193、194、195）下面验证边长为13、14、15的三角形，面积为84。如图，BC=13，AC=14，AB=15，过点C作AB边上的高CD，设AD=x,BD=15-x.解：在直角三角形ADC中，CD2=142-x2在直角三角形BDC中，CD=132-（15-x）2于是142-132=x2-(15-x)2C

5、解得x=所以CD===所以S△ABC=AB·CD=×15×=84ADB依上述方法进行研究，笔者发现该问题等价于“有多少个正整数k，可使3·k（k+2）为一个完全平方式。”在边长为200之外的“宇宙“中，还存在边长是连续整数，面积也是整数的三角形吗？若存在，那么是有限个，还是无限个？该问题一直困扰着我……