史4.2根的判别式（第5课时）

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1、4.2一元二次方程的解法根的判别式(第5课时）知识回顾1.一元二次方程的求根公是什么？一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数解(根)知识回顾3.用公式法解下列方程：⑴x2＋x－1=0⑵x2－2⑶2x2－2x＋1=0x＋3=0观察上面解一

2、元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3（3）没有实数根答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；你能得出什么结论？可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。概括总结，x2=2由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定当b2－4ac＞0时，

3、方程有两个不相等的实数根当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根当b2－4ac＜0时，方程没有实数根我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式。若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac=0当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac＜0概念巩固1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是.2.下列方程中，没有实数根

4、的方程是（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=0-8方程无实数根D3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b2-4ac＞0B.b2-4ac＜0C.b2-4ac≤0D.b2-4ac≥0D典型例题例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1）-x2+x-6=0（2）x2+4x=2（3）4x2+1=-3x（4）x2-2mx+4（m-1）=0解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0∴该方程有两个相等的实数根（2）

5、移项，得x2+4x-2=0∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）=16+8=24＞0∴该方程有两个不相等的实数根典型例题例1不解方程，判断下列方程根的情况：（3）4x2+1=-3x（4）x2-2mx+4（m-1）=0解（3）移项，得4x2+3x+1=0∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0∴该方程没有实数根（4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0∴该方程有两个实数根典型例题例2：m为任意实

6、数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。解：∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根典型例题例3：m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9（1）

7、若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0∴m＞（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0∴m=（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0∴m＜∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根；当m=时，方程有两个相等的实数根；当m＜时，方程没有实数根练一练例4：已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：∵方程有两个不相等的实数根即k＜∴（2k+1）2-4k（k+3）＞04k2+4k+1-4k2-12k

8、＞0-8k+1＞0练一练1.不解方程，判断方程根的情况：（1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x练一练2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A、没有实数根B、可能有且仅有一个实数根C、有两个相等的实数根D、有两个不相等的实数根。归纳总结一元二次方程的根的情况与系数的关系？b2-4ac叫做一元