数列解答题及答案

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1、例13、、考查数列求和、通项、错位相减、裂项以及分类数学思想等以下二题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。1．（全国大纲理20）设数列满足且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设解：（I）由题设即是公差为1的等差数列。又所以（II）由（I）得，…………8分…………12分2．（山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…

2、(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；（3）记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得（Ⅲ）又又.3．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列（1）求数列的通项公式及（2）记，，当时，试比较与的大小．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。（I）解：设等差数列的公差为d，由得因为，所以所以（II

3、）解：因为，所以因为，所以当，即所以，当当4．（湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝

4、S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.例14、1.、已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵数列的前项和为，且，∴当时，．当时，亦满足上式，故，．又数列为等比数列，设

5、公比为，∵，，∴．∴．（Ⅱ）．．所以．（Ⅲ）假设数列中存在三项成等差数列，不妨设因为，所以，且三者成等差数列．所以，即，，即．（方法一）因为，所以，．所以，，所以与矛盾．所以数列中不存在成等差数列的三项．（方法二）所以，即．所以．因为，所以，均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．所以数列中不存在三项，使得这三项成等差数列．2.（2009江西卷文）数列的通项，其前n项和为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求数列｛｝的前n项和.解:(Ⅰ)由于,故,故()(Ⅱ)两式相减得故3.数列满足（Ⅰ求及数列的通项公式；(Ⅱ)设，求；解：（

6、Ⅰ）一般地，即-=2即数列｛｝是以，公差为2的等差数列。即数列｛｝是首项为，公比为的等比数列（Ⅱ）4、数列中，，，数列是公比为（）的等比数列.(Ⅰ)求使成立的的取值范围；(Ⅱ)求数列的前项的和．解：（I）∵数列是公比为的等比数列，∴，，由得，即（），解．（II）由数列是公比为的等比数列，得，，这表明数列的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是，又，，∴当时，，当时，例151．（2009广东卷理）.已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：.解：（Ⅰ）设直

7、线：，联立得，则，∴（舍去）.，即，∴（Ⅱ）证明：∵.∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即.2．（广东理20）设b>0,数列满足a1=b，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，解：（1）由令，当①当时，②当（2）当时，（欲证），当综上所述3．（湖北理19）已知数列的前项和为，且满足：，N*，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．本小题主要考查等

8、差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）解：（I）由已知可得，两式相减可得即又所以r=0时，数列为：a，0，…，0，…；当时，由已知（），于是由可得，成等比数列，，综上，数列的通项公式为（II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（I）知，对于任意的，且成等差数列，当，时，若存在，使得成等差数列，则，由（I）知，的公比，于是对于任意的，且成等差数列，综上