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时间:2019-02-27
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1、13-14学年度上学期高三理数综合练习高三理科数学寒假作业数列答案1.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.解 (1)因为{an}是一个等差数列,所以a3+a4+a5=3a4=84,即a4=28.设数列{an}的公差为d,则5d=a9-a4=73-28=45,故d=9.由a4=a1+3d得28=a1+3×9,即a1=1.所以an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*).(2)对m∈N*,若9m<an<92
2、m,则9m+8<9n<92m+8,因此9m-1+1≤n≤92m-1,故得bm=92m-1-9m-1.于是Sm=b1+b2+b3+…+bm=(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1)=-=.2.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.解 (1)设数列{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2).即q2-4q+2=0,解得q1=2+
3、,q2=2-.所以数列{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.(2)设数列{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*),由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.3.在等比数列{an}中,a2=6,a3=18,(1)求数列{an}的通项公式;10(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)由a2=6,a3=18,得公比q=3,因此a1=2,故an=2·3n-1.(2)因为
4、bn=an+(-1)nlnan=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)=2·3n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3.所以当n为偶数时,Sn=2×+ln3=3n+ln3-1;当n为奇数时,Sn=2×-(ln2-ln3)+·ln3=3n-ln3-ln2-1.综上所述,Sn=4.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=,n∈N*.(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}
5、是等比数列;(2)求{an}的通项公式.(1)证明 b1=a2-a1=1.当n≥2时,bn=an+1-an=-an=-(an-an-1)=-bn-1,∴{bn}是以1为首项,-为公比的等比数列.(2)解 由(1)知bn=an+1-an=n-1,当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1++…+n-210=1+=1+=-n-1.当n=1时,-1-1=1=a1,∴an=-n-1(n∈N*).5.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1
6、≥an,n∈N*,求a的取值范围.解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),又S1-31=a-3(a≠3),故数列{Sn-3n}是首项为a-3,公比为2的等比数列,因此,所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.(2)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,当n=1时,a1=a不适合上式,故an=an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=
7、2n-2,当n≥2时,an+1≥an⇔12·n-2+a-3≥0⇔a≥-9.又a2=a1+3>a1.综上,所求的a的取值范围是[-9,+∞).(二)数列综合问题(数列与函数、不等式等知识的综合问题)6.在数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;10(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明 ∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn
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