欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:23305812
大小:94.50 KB
页数:8页
时间:2018-11-06
《数列解答题专练(含答案版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数列高考真题汇编1.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.解析 (1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,(3分)由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1.所以an=2n-1.(5分)(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.(6分)当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+=1+=.(10分)2.已知
2、数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.解析 (1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n.故数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)知,an=n,故bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2
3、n-1)+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.3.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn.解析 (1)证明:由已知可得=+1,即-=1.(4分)所以数列是以=1为首项,1为公差的等差数列.(5分)(2)解:由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2.从而bn=n·3n.(7分)Sn=1×31+2×32+3×33+…+n·3n,①3Sn=1×32+2×33+…+(n-1)·3n+n·
4、3n+1.②①—②,得-2Sn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1=.(10分)所以Sn=.(12分)4.已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=2,Sn+1=3Sn+n2+2(n∈N*),设bn=an+n.(1)证明:数列{bn}是等比数列;(2)若cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.解析 (1)证明:因为a1=2,Sn+1=3Sn+n2+2,所以当n=1时,a1+a2=3a1+12+2,解得a2=7.(2分)由Sn+1=3Sn+n2+2及Sn=3Sn-1+(n-1)2+2(n≥2),两式相减,得an+1=3
5、an+2n-1.故an+1+n+1=3(an+n).即bn+1=3bn(n≥2).(4分)又b1=3,b2=9,所以当n=1时上式也成立.故数列{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列.(5分)(2)由(1)知bn=3n,所以cn=.所以Tn=+++…++, ①3Tn=1+++…++. ②(7分)②-①,得2Tn=1+++…+-=-.所以Tn=-.(10分)因为n∈N*,显然有>0.又<,所以Tn<.(12分)5.已知首项为的等比数列{an}是递减数列,其前n项和为Sn,且S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差数列.(1)求数列{an}的通
6、项公式;(2)若bn=an·log2an,数列{bn}的前n项和为Tn.解析 (1)设等比数列{an}的公比为q,由题知a1=,又∵S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差数列,∴2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3.∴S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即3a2=a1+2a3.∴q=+q2,解得q=1或q=.(4分)又{an}为递减数列,于是q=.∴an=a1qn-1=()n.(6分)(2)∵bn=anlog2an=-n()n,∴Tn=-[1×+2×()2+…+(n-1)()n-1+n×()n].于是Tn=-[1×()2+…+(
7、n-1)()n+n×()n+1].(8分)两式相减,得Tn=-[+()2+…+()n-n×()n+1]=-+n×()n+1.∴Tn=(n+2)()n-2,6.已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.解析 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以-=2,即cn+1-cn=2.(4分)所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差
8、数列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1,知an=cnbn=(2n-1)3n-1.于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1
此文档下载收益归作者所有