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时间:2020-03-10
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1、1.已知数列,,若以为系数的二次方程都有根,且满足。(1)求数列通项公式;(2)求数列前项和.解:(1);(2)。高☆考♂资♀源€网2.已知数列,,数列。(1)求证:是等差数列;(2)求数列的前n项和Sn;(3)若一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围。证明:(1)由已知可得。又。,可得所以,是以的等差数列。………….4解:(2)由已知有两式相减得化简得…………….8(3)由,所以,是的单调递减函数,,,解得或,所以, m的取值范围是。………..143.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且点(n,an)满足函数y=kx+b.(Ⅰ)求k,b的值,并写出数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记,
2、证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的前n和.解:(1)将(1,a1),(2,a2)代入y=kx+b中得:……4分………………………………6分(2),………………………9分是公比为4的等比数列,………………………11分又………………………14分4.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,且点(n,an)满足函数y=kx+b.(1)求k,b的值,并写出数列{an}的通项公式;(2)记,求数列{bn}的前n和Sn.解:(1)将(1,a1),(2,a2)代入y=kx+b中得:…3分……………7分(2),是公比为4的等比数列,…………10分又………………14分5.设{an}是正数组成的数列
3、,其前n项和为Sn,并且对于所有的nN+,都有。(1)写出数列{an}的前3项;(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);(3)设,是数列{bn}的前n项和,求使得对所有nN+都成立的最小正整数的值。解:(1)n=1时∴n=2时∴n=3时∴…………3分(2)∵∴两式相减得:即也即∵∴即是首项为2,公差为4的等差数列∴…………8分(3)∴…………12分∵对所有都成立∴即故m的最小值是10…………14分6.某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,
4、依此类推,即每年增加1千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.解:设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:,等号当且仅当答:这台机器最佳使用年限是12年,年平均费用的最小值为1.55万元.7.已知等差数列满足:,,的前项和为。(1)求及;(2)令,求数列的前项和。答案:8.等差数列中,,前项和满足条件,(Ⅰ)求数列的通项公式和;(Ⅱ)记,求数列的前项和.解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得:,所以,且,所以(Ⅱ)由,得所以,……①…,……②…①-②得 9.等比数列的前项和为,已知,,成等差数列.[来源:学.(Ⅰ)求的公比;(Ⅱ)已知,
5、求.(Ⅰ)依题意有由于,故又,从而.……………………6分(Ⅱ)由已知可得故从而……12分10.以数列的任意相邻两项为坐标的点()都在一次函数的图象上,数列满足.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列,的前项和分别为,且,求的值.(1)点都在一次函数y=2x+k图像上,则有=-=(2+k)-(2+k)=2(-)=2.∴=2故是以为首项,2为公比的等比数列.…4分(2)∵=()·=-=()·-k∴,又即∴即∴∴又∴∴k=81,3,511.已知各项均为正数的数列中,是数列的前项和,对任意,有.函数,数列的首项.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令求证:是等比数列并求通项公式;(Ⅲ)令,,求数列的前
6、n项和.解:(Ⅰ)由①得②由②—①,得即:---------2分由于数列各项均为正数,即数列是首项为,公差为的等差数列,数列的通项公式是----------4分(Ⅱ)由知,所以,有,即,---------6分而,故是以为首项,公比为2的等比数列。所以---------8分(Ⅲ),所以数列的前n项和错位相减可得-----12分12.已知:等差数列{}中,=14,前10项和.(1)求;(2)将{}中的第2项,第4项,…,第项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前项和.解析:(1)由∴由(1)设新数列为{},由已知,13.已知数列(1)求数列{}的通项公式。(2)设数列,数列{}的前n项和为,
7、证明(1)解:当n>1时,……2分当n=1是。所以…………4分2)由(1)知……6分所以:因为……12分14、已知数列的各项均为正数,为其前n项和,对于任意的,满足关系式(1)求数列的通项公式;(2)设数列的通项公式是,求的前n项和为.解:(I)由已知得故即故数列为等比数列,且又当时,而亦适合上式(Ⅱ)所以15.设数列的前n项和为,若对任意都有。①求数列的首项;②求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;③若数列满足,且
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