利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程

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1、利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程格拉姆-施密特正交化在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。这种正交化方法以JørgenPedersenGram和ErhardSchmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawadecomposition）。在数值计算中，Gram－Sch

2、midt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。记法·：维数为n 的内积空间·：中的元素，可以是向量、函数，等等·：与的内积·：、……张成的子空间·：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。由投影原理知，与其在上的投影之差是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。根据上述分析，对于向量组张成的空间

3、 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。例考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为= bTa：下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：下面验证向量与的正交性：将这些向量单位化：于是就是  的一组标准正交基底。不同的形式随着内积空间上内积的定义以及构

4、成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。例如，在实向量空间上，内积定义为：在复向量空间上，内积定义为：函数之间的内积则定义为：与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程C语言程序如下：#include#include#defineN3//N表示基的个数#defineM4//M表示维数floatzj(floata[],floatb[])//这是求内积函数{inti;floatk=0;for(i=0;i

5、returnk;}main(){floatp[N][M],b[N][M],k[N];inti,j,m;for(i=0;i

6、)//j表示每个向量中的坐标for(m=0;m

7、intf("第%d个向量是：",i+1);for(j=0;j