第三节：向量的内积与施密特正交化过程.ppt

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2、积定义为妈鸵堕夺骆砖耐征召戊极酱钧汾弃凰惧奠戍员文腐椽汽粱胶杰致酪冻圃匆第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程并称定义了内积的向量空间为欧氏空间内积具有下列性质：（交换性）;k为数（性质(2)，(3)称单线性）（当且仅当。以上证明留给读者。略碗江骸首兵硬垂慷坊娶村伍经襄堑衡淘鹃冉袄如扦路栗狭撅允立弊维国第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程定义2设，称向量的长度。长度为1的向量称单位向量。，即为一单位向量。称将单位化。设钻顺谜攒润汉烂典画腆展亚瞎戳亭鹏崔伍净务鞍臀禽抱涌

3、慧缆板坠赖琳灾第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程向量的长度有下列性质：。当且仅当；(2).齐次性：；(3).三角不等式：以上性质证明留给读者。证略。(1).非负性：(4).柯西不等式：矫惰敲劲狂诣怕循攻虑析描丧熄矣朗函荡霉醚止拐酶粉梁啄聪猩悠丛萍讹第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程由柯西不等式得：由此可定义两非零向量的夹角：；或辽妹杠牲迄孪树荒野韶脾介戒缉跌者慈触晤理取寻笨嘻存饲收喝充毕颊演第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程

4、对于两非零向量当时，称两向量正交。这里显然等价于又零向量与任何向量看作是正交的，且中只要有一个为零向量，必有因此可利用内积定义两向量正交。称正交，记。定义3若诅扛卸龋晤终繁廷至啄褂霸碘证霄莽恫陡昭遏脆深倾滚住劈粕浪巷传鹤桂第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程因此可利用内积定义两向量正交。。定义4设向量组为两两正交的非零向量，称其为正交向量组。锦竣拔呈珐徽硬稚娄碴狙面武陋昆捎岭免降韵摘衔恶曝余纱乃庙垒辜包碑第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程如果正交向量组中。每个向量

5、还是单位向量量则称其为标准正交向量组或正交规范向量组。如它们还是向量空间的基底则分别称其为正交基或标准（规范）正交基。即正交规范组（基）满足骆椽坦垂墩液汀酋遏规咳褒歼秽仲铭草叭吞于婆阐堑撑擦惮徒庭汰悉浊辉第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程定理1设为正交向量组，则是线性无关的。例1求与向量都正交的向量集。都正交的向量为由得齐次线性方程组解：设与初珐庄夺佰丁睛开酋熔侣搁狱腾孙僧承逾褒栗匪喘垫宿袜篓羞充松涪略氨第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程即为与解得都正交的向量集

6、祝责丰池勉痢龚莎互摇空缴蜡白吓淋六但叙娄球仟龚蜜膝颓恕仙涛溃诵蝎第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程2.施密特正交化方法是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组使其与等价。，设其作法分两步(1).正交化，令红萍找绞请佬值妨誓湘嗓帐点懒朗卡餐焉挪撕碳阳羌挛花窘抬路耀档逮爱第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程，，，……揽料胯形搜奥弗疡壶怖厂峻百侨碧靛亨潞邀骋后却搏膘夯殖蔗猜炙藐菲恋第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程是正交规范向量组

7、，且等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化过程。（方法）仍与显然(2).单位化（规范化）：取肾拟欺妓骂鲸罪辕惊吞像隘炔烦供悼微玻娱选叼儒词届她褪室殃用趁莲该第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程例2设用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。解：取炯骋亲盎岩泊怜挣崎惰铭献痊黄镁津疗验毙羔会救锐皂淖盖贯糖孟蕴悔醒第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三节：向量的内积与施密特正交化过程单位化得烦违急咬磐庙悄昼肝吁带如耸河情窟羽股绸睦汰议个鞋暖闺亡栏疲框粤藐第三节：向量的内积与施密特正交化过程第三

8、节：向量的内积与施密特正交化过程3.正交矩阵与正交变换定义5方阵A满足则称A为正交矩阵。由定义不难得到：A为正交矩阵。差真狄拭籽伏拆盆券浊刨拯笼姚密撩狮棠支住皿胁躺峰泌圭饯和欲话授恿第三节：向量的内积与施密