长程相依过程精确渐近性的一般规律

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1、高校应用数学学报2015，3O(2)：150—156长程相依过程精确渐近性的一般规律李云霞(浙江财经大学数学与统计学院，浙江杭州310018)摘要：Xt=∑00一k为长程相依滑动平均过程，得到了关于精确渐近性质的一般规律，它能够在研究完全收敛性中精确描述边界函数，权重函数，收敛率和极限值之间的关系．关键词：滑动平均过程；长程相依过程；分数积分过程；精确渐近性中图分类号：O211．4文献标识码：A文章编号：1000—4424(2015)02—0150—07§1引言{K，t0}为长程相依滑动平均过程0

2、0Xt=>：akCt一，(1)：0其中{￡，一∞<<。。)为均值为零的独立同分布随机变量序列，a，忌0)为实数序列满足以下条件ak一一。Z(k)，1／2

3、k，1)为独立同分布的随机变量序列，=∑：1Xk，n1，Heyde证明了以下结果：o。e。∑P(IS~Ie礼)=E。，(3)’n=l其中EX：0和EX0<。。．研究精确渐近性质的目的在于得到收敛速度以及当Ea，a0时，∑1(礼)P(IIef(n))的极限值．关于精确渐近性更多的结果请参见Gut和sptaru【。4】，Gut[5】以及Sp~taru[。】等．此外，Wang~CilYang[】得到了计数过程精确渐近性质的一般规律，Li~flZhang[s]得到了关于滑动平均过程重对数率的精确渐近性质等

4、．收稿日期：2014．07-27修回日期：2015—02一i0基金项目：浙江省哲学社会科学规划课~(14NDJC101YB)；浙江省自然科学基金(LY14A010022)；浙江省社会科学界联合会研究课~(2013Z561Email：lyxmath@163．corn李云霞：长程相依过程精确渐近性的一般规律151本文主要给出了满足条件(2)的长程相依滑动平均过程(1)关于精确渐近性质的一般规律以及一些推论．首先给出以下的收敛性：oo：(礼)P(ISnlcf(n))0，(4)忆=1其中()及

5、，()为定义在[0，OO)上的正值函数，分别称(4)式eF~(x)$Df(x)为权重函数和边界函数．在精确渐近性质的研究中，可以通过变换权重函数和边界函数的不同范围，来研究完全收敛性质中边界函数，权重函数，正态化常数，收敛率以及极限值之间的关系．§2主要结果在下文中继续引用第一部分的符号．{Xt，t0)为形如(1)式的长程相依滑动平均过程，其中{￡，一∞)：．e

6、-t2／2dt，0．C表示一个正值常数，在不同的表达式中可以取不同的值．在得到主要结果前，首先讨论精确渐近性质的一般形式和条件．为了解释清楚边界函数和权重函数，将它们进行分解．假设存在某个n0EN+，下列函数都定义在fn0，oo)上．定义f(x)=X3／2-al(x)h(x)，1／2<<1，no，其q'x0／一z()是的正态化函数，z()为正值缓变函数，h(x)是可微的．令-9()可微，()=9(())()，Xno本文想要找到适当的00，对于任意的E>a，能找到适当的G0(E)满足Go(e)<∞，

7、E>a，limGo(c)=。。，(5)Ea因此对于所有的G(E)一(G0(E))_。，Ea，我们可得l山imG(e)∑(n)P(I／aI>e礼。f(n)(礼))=l，其中2Ot二，’c％a一。“(+1)一d司见Go(c)中包含了收敛率，极限值以及E极限位置的信息．因此选择G。ce，=、／／昙e。-9c，e—E2。。d，e>n，其中a0，(5)式仍然满足．定理2．1假设{t，t0)为形如(1)式的长程相依滑动平均过程，其中忙，一O0<惫

8、，k0}为满足(2)式的实数序列．缓变函数l(x)满足当存在正数】及A2时，『l(m+n)／2(n)一1lCm／n，AimA2n．(8)若E0的分布非格点且满足EI。