线性方程组迭代法收敛性分析

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1、2.2线性方程组迭代法收敛分析之前我们学习了三种常见的迭代法，也给出了各自的迭代公式，但是对于不同的线性方程组每种迭代法并不是都满足收敛的，迭代法对于系数矩阵有着特殊的要求，本节将详细分析一下迭代法满足何种条件才保证迭代过程是收敛的.2.2.1预备知识⑴向量的范数为了研究迭代过程的收敛性，对向量的“大小”引进某种度量.对于向量：Tx(,,,)xxx,12n记222xxxx.212n以此来刻画向量序列的收敛性，设向量序列()kk()()kk()x(,,,)xxxk,1,2,,.n12n和向量****x(,,,).xxx

2、12n若有()k*()k*limxx,即limxx,iikk则有()k*limxx0.k2常见的向量范数有：①1-范数nx1xi；i1②∞-范数xmaxx；i1in③2-范数n122x2()xi；i1④P-范数n1ppxxp()i.i1⑵矩阵的范数仿照向量范数的概念，可以推广至矩阵的范数的概念.最直接的一种推广是：n122AaF()ij，ij,1该范数称为F-范数.常见的矩阵范数还有：①1-范数（列范数）nAa1maxij；1jni1②∞-范数（行范数）nAamaxij；1

3、inj1③2-范数（谱范数）A，2T其中为AA的最大特征值.向量范数和矩阵范数都满足下面的重要结论，即相容性：AxAxA,BAB.(2.16)以上内容参见文献[5]~[12].⑶对角占优阵nn定义2.1设AR，若其主对角线的元素绝对值大于同行其它元素绝对值n之和，即aaiijii,1,2,,n(2.17)jji1,则称A为对角占优阵.⑷谱半径nn定义2.2设AR，其特征值为,in1,2,,.记i()maxA，(2.18)i1in称为A的谱半径.2.2.2迭代法收敛的条件及相关定理nn定理2.

4、1对于给定矩阵GR，若这个矩阵的某种范数G1，则矩阵IG为非奇异阵.证明：假设IG为奇异阵，则存在非零向量x,使得IGx0，即有xGx.由(2.16)可得xGxGx，即xGx，(2.19)因为已知条件为G1，所以(2.19)不可能成立，故原命题成立.定理2.2（迭代法收敛的充分条件）若迭代矩阵的某种范数G1，则迭代公式kk1xGxd(2.20)0对任意初值x均收敛.注：该定理只是充分条件，即迭代法收敛并不一定要G1；G只是某一种或几种范数，下面给出证明.证明：由于G1，结合定理2.1可得IG

5、为非奇异阵.*于是方程IGxd有唯一解x，即**xGxd(2.21)将(2.20)与(2.21)两式相减得kk1**xxGxx.由(2.16)可得(kkk1)*()*()*xxG()xxGxx.于是随着k的不断取值，可得下面的不等式：10**xxGxx21**xxGxxx32xG**xxkk**1xxGxx反复使用上述不等式可以得到：k**k0xxGxx.(2.22)因为G1，所以有klimG0(2.23)k由(2.2

6、2)和(2.23)可知k*limxx0k因此迭代过程收敛，原命题成立.定理2.3若A为对角占优阵，则它是非奇异的.证明：因为A为对角占优阵，则其主对角线元素a0，所以Ddiaga为iiii非奇异阵.考察矩阵a12a1n0aa1111aa212n01IDAaa2222，aann120aannnn由对角占优条件(2.17)可得nna11ijIDAmaxmaxaij1，(2.24)11inaainjji1,ii

7、iijji1,11由定理2.1可知IIDADA为非奇异阵.1又因为D为非奇异阵，则D也是非奇异的，所以A是非奇异矩阵.定理2.4若方程组Axb的系数矩阵A为对角占优阵，则雅可比迭代公式和高斯-塞德尔迭代公式均收敛.证明：雅可比迭代矩阵为1JIDA，由(2.24)知J1，再由定理2.2知雅可比迭代收敛.高斯-塞德尔迭代矩阵为1GDLU,令yGx，则有11yDLyDUx，写出分量形式为in1aaijijyijjyx,in1,2,.(2.25)jj11aaiiiii设xx

8、max1，而i1inyymaxy,1knik1in则由(2.25)得kn1aakjkjyykyjj11aakkkkk由