第5章狄拉克delta函数_476401940

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1、Chapter5DiracDeltaFunction§5.1DefinitionandPropertiesofDeltaFunction§5.2DeltaFunctionasWeakConvergenceLimitsofOrdinaryFunctions§5.3DeltaFunctioninMultidimensionalSpaces§5.4GeneralizedFourierSeriesExpansionofDeltaFunctionExercises§5.1函数的定义与性质5.1.1函数的定义狄拉克函数的定义如下，同时也说明

2、了它的性质和作用.,x0(i)()x(5.1.1a)0,x0()dxx1(5.1.1b)式(5.1.1b)有时也写成另一形式：b1,0(,)ab()dxx(5.1.1c)a0,0(,)ab(ii)fx()()dxxf(0)(5.1.2)(iii)fx()(xxx)dfx()(5.1.3)在(i)和(ii)中，奇点是在x=0处.(iii)是奇点位于任意的x点上，是最一般的情况.(i)中可以看成是fx()1的特例.性质(iii)也被称为函数的取样性质.式(5

3、.1.1a)和(5.1.1b)狄拉克提出的函数的最原始的定义.按照原先的经典积分理论，()x既然只在一点x0处不为零，就相当于一个零函数的定义，那么它在任意(有限或无限)区间上的积分应当为零，见(2.1.25)式.故式(5.1.1a)和(5.1.1b)是相互冲突的.这是因为，通常讲的广义零函数在孤立点上的取值是有限的，而式(5.1.1a)表示在孤立点上取值是无限的.因而可以说，狄拉克函数并不是通常意义下的函数，无法用经典的方法对它进行代数分类和分析的运算.然而狄拉克函数确实能反映许多为经典函数不能反映的客观现象.例如只有一个

4、电源和电容而无电阻的电路在由断开到接通时电流就表现出一个函1数的行为.狄拉克函数还在以下一些事例中表现其物理意义.在一个没有体积的几何点上放置有限的质量或者电荷量；在传热过程中，在杆的某处(例如一端)的几何点上传入有限的热量；瞬时冲击力：在t=0的时刻一杆受到一冲击力，在时间长度为零的情况下获得一个有限的冲量；等等.为了使实际中出现的奇异性得到合理的解释，并且能在实际应用中对其进行正确的运算，就必须拓展函数的概念.这就促成了广义函数的产生.5.1.2函数是一个广义函数首先，把函数看成是函数空间上的泛函.由上述定义式可以看出，

5、函数只有在作用于某个函数的时候才真正体现出它的价值来.这实质上是一种泛函，第一章中已经定义了泛函的概念.现在定义连续函数空间上的一个泛函如下.[()]x(0)(5.1.4)这个泛函具有线性性质：[()x()]x[()]x[()]x(5.1.5)1212证明：[()x()]x(0)(0)[()]x[()]x.121212定义1如果某函数空间上的泛函，具有线性性质(5.1.5)，则称为空间上的线性泛函，空间上的线性泛函又称为空间上的广义函数.显然，

6、线性泛函是泛函的一个种类.我们来考虑积分型的广义函数f.(,)ffx()()dxx(5.1.6)其中f是一给定的函数，()x属于所考虑的函数空间，这里还假定右端的积分存在.写成这个形式后，此时的(,)f就与泛函fx[()]具有完全相同的含义了.例如，((),())xx(0)(5.1.7)这与(5.1.4)式是一样的.显然，由(5.1.6)定义的广义函数是具有(5.1.5)的线性性质的.因此，f[()](,)xffx()()dxx.(5.1.8)在(5.1.6)的定义中，右边fx()是一个

7、函数而左边的f是一个泛函.不同的函数fx()给出不同的广义函数f.广义函数的概念就是在这个意义下把函数的概念推广了.或者说，在这个意义下，作为泛函的fx()也是一个广义函数.2齐次，把函数看成是一个广义函数.()x函数作为一个广义函数，它的特点是，本身又可以作为一个普通函数来定义，它的自变量与它的容许函数的自变量相同.在一维空间中，如(5.1.1a)式那样，尽管在原点处是不连续的，而且其值为无穷大.5.1.3函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换除了在奇点x0以外()0x，因此，()x的行为几乎处处像一个普通函数.对于普通函数

8、所做的一些运算也可以用于()x函数.例如，我们可以对()x函数作傅里叶变换.根据傅里叶变换的定义式，我们立即有itF[()]t()edtt1(5.1.9)因此，1的傅里叶反变换就是()x函数.1